Fourierentwicklung

04.09.2012, 13:40

Camarero

Fourierentwicklung

Gegeben sei die $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodische Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb E^{1} \Rightarrow \mathbb E^{3} \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} f(x):=\pi^{2}-x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall x\in [-\pi ,\pi ) . \end{eqnarray*}$

a) Geben Sie die Fourierentwicklung dieser Funktion im Intervall $\begin{eqnarray*} [-\pi ,\pi ) \end{eqnarray*}$ an!

b) Untersuchen Sie die Fourier-Reihe auf absolute und gleichmäßige Konvergenz!

c) Formulieren Sie die Besselsche Ungleichung mit den von Ihnen berechneten Fourier-Koeffizienten und der vorgegebenen Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ !

Meine Idee:

da $\begin{eqnarray*} f(-x)=f(x) \end{eqnarray*}$ handelt es sich um eine gerade Funktion und somit ist $\begin{eqnarray*} b_{n}=0 \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} a_{0}=\frac{4}{3}\pi ^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{4\pi +2}{\pi n²} \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ bin ich mir nicht ganz sicher, ist das richtig gerechnet? und wenn ja, wie geht es weiter?

04.09.2012, 21:00

Camarero

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RE: Fourierentwicklung
Wer wär denn so nett und würde mal nachrechnen? Hammer

05.09.2012, 10:07

system-agent

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RE: Fourierentwicklung

Zitat:

Original von Camarero
Wer wär denn so nett und würde mal nachrechnen? Hammer

Du weisst schon dass hier niemand sitzt und nur auf Anfragen wartet die er beantworten kann sondern alles auf freiwilliger Basis abläuft? Solche Kommentare tragen dann eher dazu bei, dass niemand antworten wird, vor allem wenn der Kommentar schon nach wenigen Stunden kommt.

Wie dem auch sei, dass alle $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ Null sind, das ist richtig. Dein $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls richtig. Für die restlichen $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ habe ich etwas anderes gefunden.

Was weisst du denn über die Konvergenz von Fourierreihen? Was habt ihr dazu bewiesen? Wie lautet denn die Bessel-Ungleichung überhaupt?

05.09.2012, 17:25

gurrke

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Einfach mal Wolframalpha anwerfen und Integrieren lassen. Dein an ist falsch der Rest sieht gut aus.

05.09.2012, 17:32

gurrke

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$\begin{eqnarray*} 1/\pi * \int \! (pi^2-x^2)*cos(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

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