Vektornorm, die keine operatornorm induziert

04.09.2012, 14:46	schnaff	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektornorm, die keine operatornorm induziert Wie bereits der Titel sagt, suche ich eine Vektornorm, die keine Operatornorm induziert. Kann mir dabei jemand helfen?
04.09.2012, 16:36	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielleicht solltest du deine Frage etwas spezifizieren, denn jede Vektornorm induziert eine dazugehörige Operatornorm. Seien $\begin{eqnarray} (X,\Vert \cdot \Vert_X), (Y,\Vert \cdot \Vert_Y) \end{eqnarray}$ normierte Vektorräume, dann besitzt $\begin{eqnarray} L(X,Y) = \{ A: X \longrightarrow Y: \ \ A \text{ ist linear und beschränkt }\} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \Vert A \Vert_{L(X,Y)} = \underset{ \Vert x \Vert_X = 1}{\sup}\ \Vert Ax\Vert_Y \end{eqnarray}$ immer eine dazugehörige induzierte Operatornorm. Andersrum gibt es Normen, welche nicht von einer Vektornorm herkommen. Im einfachsten Beispiel schau dir dazu einfach den Raum aller Matrizen an, also $\begin{eqnarray} L(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^d) \end{eqnarray}$ , durch die Vorschrift und die Norm $\begin{eqnarray} \Vert A \Vert = d\underset{1\leq i,j\leq d}{\max}\|a_{ij}\| \end{eqnarray}$ . Diese hat alle schönen Eigenschaften wie Verträglichkeit etc., jedoch gilt $\begin{eqnarray} \Vert 1 \Vert = d \end{eqnarray}$ für eine Operatornorm müsste da jedoch 1 rauskommen. Beim nochmaligem Lesen klingt es dannach, dass du dannach gesucht hast? mfg
08.09.2012, 23:36	schnaff	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich habe inzwischen gemerkt, dass meine Frage falsch formuliert war. Danke für die Hilfe! Ich habe eine Operatornorm gesucht, die von keiner Vektornorm induziert wird. z.B. die Frobeniusnorm.

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