Vierzeilge Vektoren auf lin. abhängigkeit prüfen - 3x4 Matrix

04.09.2012, 16:19

gmb

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Vierzeilge Vektoren auf lin. abhängigkeit prüfen - 3x4 Matrix

Meine Frage:
Hi, es gibt viele Videos zu 3x3 Matrizen aber ein 3x4 Video konnte ich nicht finden, deswegen hier die Frage.
Gegeben eine Matrix aus 3 Vektoren:
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{vmatrix} <br /> 2&1&1 <br /> 3&3&4 <br /> 4&5&2 <br /> 2&4&6<br /> \end{vmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$
gesucht:
1. Sind die folgenden Vektoren linear abhängig/unabhängig?
2. Im Falle einen Vektor als Linearkombination der anderen darstellen.

Meine Ideen:
Stufenform machen und wenn Nullzeile dann linear abhängig(?): Nach Gauss erhalte ich in der 4. Zeile eine Nullzeile: Kann ich jetzt schon schlussfolgern dass die Vektoren linear abhängig sind?
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{vmatrix} <br /> 2&1&1<br /> 0&3&5<br /> 0&0&-5<br /> 0&0&0<br /> \end{vmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Und wie gehe weiter vor?

04.09.2012, 18:31

Terra1337

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Dann hättest du dir die Videos vielleicht trotzdem mal anschauen sollen.

Versuch doch mal eine 3x4 Matrix zu bauen, welche 4 linear unabhängige Zeilen hat. Dann siehst du vielleicht schon vorauf es hinaus läuft Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.09.2012, 20:03

gmb

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Ich habe mir die Videos alle angeschaut aber wie ist es denn jetzt mit 3x4? *einfach Lösungsweg posten, wäre ich sehr dankbar*

Terra, wenn ich das machen könnte, würde ich nicht "gesucht: 1. ..." fragen Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.09.2012, 00:14

frank09

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RE: Vierzeilge Vektoren auf lin. abhängigkeit prüfen - 3x4 Matrix
Bei nicht quadratischen Matrizen kannst du von einer Nullzeile nach Gauß-Umformung nicht automatisch auf lineare Abhängigkeit schließen.

Es gibt zwei Kennzeichen für lineare Unabhängigkeit der Spaltenvektoren:

1. Fasse die Matrix als homogenes Gleichungssystem auf, also
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 V_1+\lambda_2 V_2+\lambda_1 V_3=0 \end{eqnarray*}$
Lässt sich aus deiner Umformung eine Lösung ableiten, bei der
nicht alle $\begin{eqnarray*} \lambda =0 \end{eqnarray*}$ sind?

2. Die Zahl der Nicht-Nullzeilen gibt den Rang der Matrix an, also die
maximale Anzahl an linear unabhängigen Vektoren. Stimmt diese mit der Zahl der Spaltenvektoren überein?

05.09.2012, 10:43

gmb

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Zitat:

Bei nicht quadratischen Matrizen kannst du von einer Nullzeile nach Gauß-Umformung nicht automatisch auf lineare Abhängigkeit schließen.

Danke, so eine präzise Antwort habe ich gesucht.

Hier sind jetzt die vier lineare Gleichungen:
$\begin{eqnarray*} <br /> 2 \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0<br /> 3 \lambda_1 + 3 \lambda_2 + 4\lambda_3 = 0<br /> 4 \lambda_1 + 5 \lambda_2 + 2\lambda_3 = 0<br /> 2 \lambda_1 + 4 \lambda_2 + 6 \lambda_3 = 0<br /> \end{eqnarray*}$
Ich muss jetzt jeweils auf ein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ umstellen und in andere einsetzen? Und wenn alle =0 ergeben, dann sind sie linear unabhängig?
Irgendwie komme ich jedoch mit dem umstellen&einsetzen nicht weiter verwirrt

verwirrt

05.09.2012, 10:48

klarsoweit

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Das einfachste Verfahren ist, die Vektoren zeilenweise in eine Matrix zu schreiben und diese dann auf Zeilenstufenform zu bringen. Entsteht dabei eine Nullzeile, dann sind die Vektoren linear abhängig. smile

smile

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05.09.2012, 10:54

gmb

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Das wäre aber umgekehrt was frank09 schreibt?

Zitat:

Bei nicht quadratischen Matrizen kannst du von einer Nullzeile nach Gauß-Umformung nicht automatisch auf lineare Abhängigkeit schließen.

05.09.2012, 11:03

klarsoweit

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Das liegt daran, daß du die Vektoren spaltenweise in die Matrix eingetragen hast.

05.09.2012, 11:12

gmb

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Ok, dann trage ich die drei Vektoren zeilenweise ein
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{vmatrix} <br /> 2&3&4&2<br /> 1&3&5&4<br /> 1&4&2&6<br /> \end{vmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$
Nun ist die Matrix aber immer noch nicht quadratisch.
Ich verstehe's nicht.

05.09.2012, 11:51

klarsoweit

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Jede, Matrix, ob quadratisch oder nicht, kann man auf Zeilenstufenform bringen.

05.09.2012, 12:43

gmb

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Wenn das mit jeder Matrix geht (und ich nicht erst zeilenweise einzutragen brauche, sondern es geht auch spaltenweise), dann ist im ersten Post unter "Meine Ideen:" die Matrix bereits auf Zeilenstufenform gebracht?

Zitat:

Entsteht dabei eine Nullzeile, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Und wie im ersten Post geschrieben/gefragt ist eine Nullzeile entstanden. Dann wären die Vektoren jetzt linear abhängig?

Nur der Post von frank09 verunsichert:

Zitat:

Bei nicht quadratischen Matrizen kannst du von einer Nullzeile nach Gauß-Umformung nicht automatisch auf lineare Abhängigkeit schließen.

05.09.2012, 12:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von gmb
Wenn das mit jeder Matrix geht (und ich nicht erst zeilenweise einzutragen brauche, sondern es geht auch spaltenweise),

Das habe ich nicht gesagt. Das von mir beschriebene Verfahren funktioniert nur, wenn du die Vektoren zeilenweise in eine Matrix schreibst.

Beispielsweise sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig, obwohl die Matrix bei spaltenweiser Eintragung der Vektoren eine Nullzeile enthält. Und das ist das, was frank09 meinte.

05.09.2012, 13:19

gmb

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Ok, dann als zeilenweise eingetragen und mittels Gauß-Verfahren
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{tabular}{cccc|l}<br /> 2&3&4&2 & \text{ } <br /> 1&3&5&4 & \text{ -III } <br /> 1&4&2&6 & \text{ -II }<br /> \hline 2&3&4&2 & \text{ } <br /> 0&-1&3&-2 & \text{ } <br /> 0&1&-3&2 & \text{ +II }<br /> \hline 2&3&4&2 & \text{ } <br /> 0&-1&3&-2 & \text{ } <br /> 0&0&0&0 & \text{ diese Zeile fällt jetzt weg $\rightarrow$ linear abhängig? } <br /> \end{tabular}<br /> \end{eqnarray*}$
Ist die erste Frage aus dem ersten Post damit gelöst?

Wie löst man jetzt die zweite Frage?

05.09.2012, 13:34

klarsoweit

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Du kannst nicht in einem Schritt gleichzeitig die Operation II - III und III - II machen.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Offensichtlich sind die Zeilenvektoren linear unabhängig. Jetzt I - II und II - I ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist die 2. Zeile das -1-fache der 1. Zeile und - uuups - die Zeilenvektoren sind nun linear abhängig.

05.09.2012, 15:15

gmb

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Ok, ist das schonmal richtig?:
$\begin{eqnarray*} <br /> \newcommand*{\temp}{\multicolumn{1}{c|}{0}}<br /> \begin{tabular}{cccc|l}<br /> 2&3&4&2 & \text{ } <br /> 1&3&5&4 & \text{ -III } <br /> 1&4&2&6 & \text{ }<br /> \hline 2&3&4&2 & \text{ } <br /> 0&-1&3&-2 & \text{ } <br /> 1&4&2&6 & \text{ -I/2 }<br /> \hline 2&3&4&2 & \text{ } <br /> 0&-1&3&-2 & \text{ $\times \frac{5}{2}$ }<br /> 0& $\frac{5}{2}$ &0& 5 & \text{ } <br /> \hline 2&3&4&2 & \text{ } <br /> 0 & $-\frac{5}{2}$ & $\frac{15}{2}$ & -5 & \text{ } <br /> 0 & $\frac{5}{2}$ & 0 & 5 & \text{ -II } <br /> \hline 2&3&4&2 & \text{ } <br /> 0 & $-\frac{5}{2}$ & $\frac{15}{2}$ & -5 & \text{ } <br /> 0 & 0 & $-\frac{5}{2}$ & 0 & \text{ ist hier die Zeilenstufenform erreicht? } <br /> \end{tabular}<br /> \end{eqnarray*}$

05.09.2012, 15:41

klarsoweit

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Im Prinzip ja, aber bei der letzten Umformung wird die 2. Zeile zur 3. Zeile addiert, so daß in der 3. Zeile (0, 0, 15/2, 0) steht.

In der Zeilenstufenform ist keine Nullzeile entstanden, so daß also die Vektoren linear unabhängig sind. smile

smile

05.09.2012, 15:57

gmb

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Zitat:

Im Prinzip ja, aber bei der letzten Umformung wird die 2. Zeile zur 3. Zeile addiert, so daß in der 3. Zeile (0, 0, 15/2, 0) steht.

Ach, stimmt.

Ok, valide Zeilenstufenform erreicht, gut smile

smile

Linear unabhängig also? cool dass das jetzt bekannt ist, und die 1. Frage aus dem 1. Post geklärt? schön

Zur 2. Frage:
Wie löst man diese? Oder erübrigt sich diese Frage, da die Vektoren linear unabhängig sind?

05.09.2012, 16:50

klarsoweit

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Ja. Da die linear unabhängig sind, läßt sich kein Vektor aus den anderen darstellen.

05.09.2012, 16:57

gmb

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Ich danke euch allen, danke klarsoweit. smile

smile

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