Dreieckskonstruktion

04.09.2012, 17:52

mastef

Dreieckskonstruktion

Meine Frage:
Gegeben ist ein Dreieck ABC. Konstruiere Punkte X auf AC und Y auf BC, so dass |AX|=|XY|=|YC| gilt.

Meine Ideen:
Ich habe schon mit Winkelhalbierenden, Mittelsenkrechten, Strahlensätzen versucht.
Meine Idee war auch ein kleineres Trapez zu konstruieren und dann auf das große Dreieck zu proizieren, aber das will auch nicht klappen.

Habe auch schon mit Geogebra versucht das ganze Rückwerts, zuerst X und Y und dann mit Hilfe des Zirkels B und C bestimmen. Aber das hat mir auch nicht geholfen für die richtige Richtung, D.h. das Dreieck ex. zuerst und dann X und Y zu bestimmen.

Edit Equester: Aufgabenstellung als Überschrift ungeeignet und daher geändert.
Aus Rätselecke hierher verschoben.

04.09.2012, 18:12

weisbrot

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RE: Gegeben ist ein Dreieck ABC. Konstruiere Punkte X auf AC und Y auf BC so dass |AX|=|XY|=|YC| gil
was ist das für eine verknüpfung? skalarprodukt? verwirrt

04.09.2012, 19:13

riwe

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RE: Dreieckskonstruktion
eine ziemlich einfache winkeljagd Augenzwinkern

den wichtigen winkel habe ich dir angemalt

04.09.2012, 20:01

mastef

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RE: Dreieckskonstruktion
Hallo,

ok das leuchtet mir ein... aber ich sehe ich habe da einen kleinen Fehler gemacht...funktioniert das dann ähnlich?

wenn ich |XA|=|XY|=|YB| erreichen möchte?

05.09.2012, 11:49

riwe

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RE: Dreieckskonstruktion
wozu brauchst du bzw. woher kommt diese aufgabe verwirrt

deine frage solltest du selbst beantworten können.
kontruierbar ist das zeug auf jeden fall mit ZuL.

05.09.2012, 11:55

mastef

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RE: Dreieckskonstruktion
ich lerne für eine Klausur...habe ein paar Aufgaben im Internet gefunden... aber diese verstehe ich gar nicht.

kannst du mir noch ein Tip geben, wie ich es nur mit Zirkel und Linial konstruieren kann?

05.09.2012, 12:25

riwe

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RE: Dreieckskonstruktion
kannst du mir den link geben verwirrt

05.09.2012, 12:46

mastef

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RE: Dreieckskonstruktion
leider nicht... habe vor ein zwei wochen mit einer Freundin viele ähnliche Aufgaben rausgeschrieben. sie schafft die aufgabe auch nicht.

studiere schon im 9 semester mathe und ich habe bei dieser aufgabe einfach eine blockade...
es ist kein Übungsblatt... mich macht einfach nur die aufgabe wahnsinnig und anstatt einfach weiter zu lernen, sitze ich hier schon den dritten Tag und die Lsg ist fast vor meinen augen, aber irgendwie auch nicht

hatte auch schon gedacht die lsg zu haben, mit hilfe von winkelhalb. , aber da war ich auf dem holzweg

jetzt blättere ich schon in den Büchern der 8. Klasse, in der hoffnung dass ich nur was übersehe...peinlich...aber die Aufgabe lässt mich nicht los

05.09.2012, 16:15

HAL 9000

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Geht es jetzt um eine andere Aufgabe? Denn ich sehe jetzt keinen Zusammenhang dieser Skizze zur obigen Aufgabe. verwirrt

Jedenfalls komme ich zur Originalaufgabe zurück: Ich weiß jetzt nicht, wo es bei dir "hängt", aber im gleichschenkligen Dreieck $\begin{eqnarray*} \triangle CXY \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} |\angle YXC| = |\angle XCY| = \gamma \end{eqnarray*}$ gelten, und in der Folge dann im ebenfalls gleichschenkligen Dreieck $\begin{eqnarray*} \triangle AYX \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} |\angle YAX| = |\angle XYA| = \frac{1}{2}|\angle YXC| = \frac{\gamma}{2} \end{eqnarray*}$ .

Und den Winkel $\begin{eqnarray*} \frac{\gamma}{2} \end{eqnarray*}$ wirst du doch konstruieren können?

EDIT: Ah, zu spät gesehen:

Zitat:

Original von mastef
funktioniert das dann ähnlich?

wenn ich |XA|=|XY|=|YB| erreichen möchte?

Solche gravierenden Änderungen sollte man deutlicher hervorheben.

05.09.2012, 17:14

mastef

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tut mir leid... bin das erste mal in so einem forum.

bei der ersten "vertipten" Aufgabe habe ich auch nicht das Problem... das leuchtet mir auch ein

aber bei meiner eigentlichen Aufgabe...

hier noch mal ein Bild

Dreieck ABC, D auf AB und E auf AC; Gleiche Länge BE=DE=DC

07.09.2012, 10:31

riwe

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zur konstruierBARKEIT Augenzwinkern

07.09.2012, 15:34

Leopold

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Ich habe mir einmal Werners GeoGebra-Datei angeschaut. Sie arbeitet mit einer Formel, mit der die gemeinsame Länge $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ der drei Strecken berechnet wird. Wenn man außer den Strecken $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ gegenüber von $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ noch den Winkel $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ verwendet, kann man für sie auch die folgende Darstellung angeben:

$\begin{eqnarray*} t = \left| \ \frac{(a + b) \cdot \left( 1 - \cos \gamma \right) \pm \sqrt{c^2-(a-b)^2 \cdot \sin^2 \gamma} }{1-2 \cos(\gamma)} \ \right| \, , \ \ \text{falls} \ \gamma \neq 60^{\circ} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t = \frac{c^2}{a+b} \, , \ \ \text{falls} \ \gamma = 60^{\circ} \end{eqnarray*}$

Bei der Variante mit dem Minuszeichen vor dem Wurzelzeichen scheint immer mindestens einer der Punkte $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ (bei Werner $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ (bei Werner $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ) auf der Strecke $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ zu liegen. Der andere liegt auf der Halbgeraden, die in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ beginnt und über $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ führt, möglicherweise außerhalb der Dreiecksseite.
Bei der Variante mit dem Pluszeichen liegen die Punkte $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ auf den Geraden $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ außerhalb der Dreiecksseiten. Für $\begin{eqnarray*} \gamma \to 60^{\circ} \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ unendlich groß (Plusvariante) oder strebt gegen den oben angegebenen zweiten Fall (Minusvariante).

Der Formel kann man eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal entnehmen. Allerdings ist es unschön, daß diese Konstruktion sozusagen im nachhinein herausgelesen wird, nachdem man einiges gerechnet hat. Es fehlt immer noch eine zündende "rein-geometrische" Idee, wie die Aufgabe konstruktiv zu lösen wäre. Das scheint irgendwie nicht ganz einfach zu sein. Oder wir haben ein Brett vorm Kopf.

07.09.2012, 15:58

riwe

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@ hallo Leopold,
den weg über den winkel $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ bin ich auch gegangen,
aber wie du ja zeigst, muß man dabei eine fallunterscheidung vornehmen.

ich wollte hier nur die konstruierbarkeit zeigen, siehe meinen titel dazu.
eine schöne geometrische konstruktion ist das natürlich nicht.
ich denke, du hast das einmal "synthetisch" genannt Augenzwinkern

und $\begin{eqnarray*} t=\frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ für das gleichseitige dreieck Augenzwinkern

07.09.2012, 16:03

Leopold

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Die Fallunterscheidung, denke ich, muß man so oder so machen. $\begin{eqnarray*} \gamma = 60^{\circ} \end{eqnarray*}$ macht Probleme, nicht nur, wenn das Dreieck gleichseitig ist.

$\begin{eqnarray*} \gamma = 60^{\circ} \ \ \Leftrightarrow \ \ a^2 + b^2 - c^2 - ab = 0 \end{eqnarray*}$

07.09.2012, 16:32

riwe

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stimmt

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