Symmetrische Verteilung

04.09.2012, 22:50

Johannes Winter

Symmetrische Verteilung

Meine Frage:
Mir ist folgende Aufgabe gegeben:

Eine Verteilung $\begin{eqnarray*} Q:\mathbb{R} \rightarrow [0,1] \end{eqnarray*}$ heißt symmetrisch, wenn für die Abbildung $\begin{eqnarray*} S:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} S(x)=-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Q_S=Q \end{eqnarray*}$

gilt.

Zu zeigen ist:

Für die Verteilung Q und die zugehörige Verteilungsfunktion sind äquivalent:

(a) Q ist symmetrisch
(b) Für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} F(-x)+F(x)=1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich bin mir aber nun ziemlich sicher dass die Aufgabe fehlerhaft gestellt ist, denn wenn ich den Weg von (a) => (b) mache komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} F(-x)+F(x)\overset{Korrespondenzsatz}{=}Q[(-\infty,-x]]+Q[(-\infty,x]]=Q[S^{-1}([x,\infty))]+Q[(-\infty,x]]=Q_S[[x,\infty)]+Q[(-\infty,x]]\overset{Symmetrie}=Q[[x,\infty)]+Q[(-\infty,x]]\overset{\sigma -Additivitaet}=Q[\mathbb{R}]+Q[\{x\}]=1+Q[\{x\}] \end{eqnarray*}$

Hab ich da einen Fehler gemacht, oder ist es tatsächlich so, dass noch $\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}: Q[{x}]=0 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt werden müsste?

LG

Johannes

04.09.2012, 23:35

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Johannes Winter
Für die Verteilung Q und die zugehörige Verteilungsfunktion sind äquivalent:

(a) Q ist symmetrisch
(b) Für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} F(-x)+F(x)=1 \end{eqnarray*}$

Du hast vollkommen Recht mit deinem Verdacht, in dieser Form ist die Aussage falsch:

Betrachten wir einfach die Einpunktverteilung m Nullpunkt, d.h. $\begin{eqnarray*} Q(\{0\})=1 \end{eqnarray*}$ , die ist symmetrisch und für sie gilt $\begin{eqnarray*} F(0)=1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} F(0)+F(0)=2 \end{eqnarray*}$ , im Widerspruch zu Aussage (b).

Werden die Voraussetzungen allerdings um "F stetig" ergänzt, ist die Aussage richtig. Oder man formuliert (b) anders:

Zitat:

(b') Für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} F(-x-0)+F(x)=1 \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} F(-x-0) \end{eqnarray*}$ der linksseitige Grenzwert von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ ist.

05.09.2012, 14:51

Johannes Winter

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank

Neue Frage »

Antworten »

Symmetrische Verteilung

Verwandte Themen