Integralrechnung

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04.09.2012, 22:58	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung Meine Frage: Hallo ich habe gerade probleme bei einer Integral aufgabe: Bestimmen Sie die Länge der Kurve y = e^x zwischen den Punkten (0, 1) und (1, e). Hinweis für?s Integrieren: u = $\begin{eqnarray} \sqrt{1+e^{2x}} \end{eqnarray}$ Mein ansatz: Ich schon mal das Integral aufgeschrieben ,weiss aber nicht was für grenzen ich einsetzen soll: L(w)= $\begin{eqnarray} \int_a^b \sqrt{e^{x^2}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: gepostet
04.09.2012, 23:02	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung Hallo, erläutere doch mal, wie du auf dieses Integral gekommen bist. Dann kann das mit den Grenzen sicher auch besser geklärt werden. mfg, Ché Netzer
04.09.2012, 23:05	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das e^x abgeleitet und dann quadriert . Das ist doch so eine Formel um die Weglänge zu berechnen wenn ich nicht falsch liege.
04.09.2012, 23:08	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
1. $\begin{eqnarray} (\mathrm e^x)^2\neq\mathrm e^{x^2} \end{eqnarray}$ Und 2. ist ja schon von einer Kurve die Rede. Die wäre hier $\begin{eqnarray} x\mapsto(x,\mathrm e^x) \end{eqnarray}$ . Von DEREN Ableitung bestimmst du die Norm und integrierst sie. Die Grenzen setzt du dann so, dass die Kurve auf den gegebenen Punkten startet/endet.
04.09.2012, 23:15	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre dann: L(W) = $\begin{eqnarray} \int_0^1 \ \sqrt{1+(e^x)^2} \, dx \end{eqnarray}$ Müsste ich da nicht ein Doppelintegral benutzen? Einmal mit den grenzen 0 bis 1 und einmal von 1 bis e? Kannst du mir aber bitte auch zuerst erklären wie du herauf gekommen bist: ( x , e^x ) ? Vor allem auf das x . Wie kommt man darauf?
04.09.2012, 23:18	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelintegral? Und wieso von $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \mathrm e \end{eqnarray}$ . Die Angaben aus der Aufgabenstellung sind Punkte und keine Intervalle, wenn du das meinst. Die Kurve ist in der Aufgabenstellung gegeben: "Kurve y = e^x". Wir haben dabei allgemeine Punkte $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ auf der Kurve; diese Gleichung spezifiziert $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ . Du kannst es dir auch als Graphen von $\begin{eqnarray} x\mapsto\mathrm e^x \end{eqnarray}$ interpretieren. Das Integral kannst du jetzt jedenfalls mit der vorgeschlagenen Substitution lösen.
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04.09.2012, 23:27	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok . Dann müsste idas substituiert so aussehen oder? $\begin{eqnarray} \int ue^{2x} \frac{1}{2}(1+e^{2x})^{-\frac{1}{2} }du \end{eqnarray}$
04.09.2012, 23:37	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, noch nicht ganz. Schreibe doch z.B. mal auf, was $\begin{eqnarray} \mathrm dx \end{eqnarray}$ ist.
04.09.2012, 23:39	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
dx ist doch = ableitung *du oder ? Oder habe ich die substitution nicht richtig angewendet?
04.09.2012, 23:41	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du denn mit "ableitung * du"? Du hast $\begin{eqnarray} u=\sqrt{1+\mathrm e^{2x}}\,. \end{eqnarray}$ Wenn du das jetzt nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ableitest, erhältst du $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm du}{\mathrm dx} \end{eqnarray}$ . Zum Substituieren stellt du dann nach $\begin{eqnarray} \mathrm dx \end{eqnarray}$ um.
04.09.2012, 23:48	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int u\frac{2}{\sqrt{(1+e^{2x}) } } du \end{eqnarray}$ So müsste es stimmen oder? Aber wie integriere ich das jetzt genau?
04.09.2012, 23:51	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hast du die Zwei irgendwie falsch platziert. Und du scheinst du innere Ableitung vergessen zu haben. So, wie es jetzt dasteht, wäre es nämlich wunderbar einfach zu integrieren
04.09.2012, 23:58	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe irgendwie nicht was ich falsch gemacht habe? Ich habe die 2 vom bruch 1/2 hoch geholt .
05.09.2012, 00:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Und jetzt musst du noch die innere Ableitung von $\begin{eqnarray} \sqrt{1+\mathrm e^{2x}} \end{eqnarray}$ mit ranmultiplizieren. Außerdem müsstest du noch den Kehrwert bilden, du willst ja $\begin{eqnarray} \mathrm dx \end{eqnarray}$ ersetzen (das steht beim Bilden der Ableitung im Nenner).
05.09.2012, 00:04	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie integriere ich das jetzt? $\begin{eqnarray} \frac{2}{e^{2x}\sqrt{(1+e^{2x})} } \end{eqnarray*}$
05.09.2012, 00:06	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst einmal solltest du den Integranden richtig aufschreiben. Wie gesagt, bestimme doch als erstes $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm du}{\mathrm dx}\,. \end{eqnarray}$
05.09.2012, 00:11	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} Integral u\frac{2du}{e^{2x}\sqrt{(1+e^{2x}} } \end{eqnarray*}$ Wie integriere ich das jetzt?
05.09.2012, 00:16	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Lieber gar nicht, die Substitution ist ja immer noch falsch.
05.09.2012, 00:21	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja habe ich doch du durch die ableitung = dx oder?
05.09.2012, 00:23	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und diese Ableitung solltest du auch noch richtig bilden.
05.09.2012, 00:29	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja ich glaube ich habs: $\begin{eqnarray} \frac{du}{e^{2x}\sqrt{(1+e^{2x})} } \end{eqnarray*}$
05.09.2012, 00:32	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein u steht natürlich noch vor dem bruch hatte ich vergessen.
05.09.2012, 00:34	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
So auch nicht. Wie gesagt: Leite mal $\begin{eqnarray} \sqrt{1+\mathrm e^{2x}} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ab.
05.09.2012, 00:37	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir leid ich erkenne meinen fehler einfach nicht.
05.09.2012, 00:38	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso bildest du denn nicht diese Ableitung? Benutze die Kettenregel dabei zweimal...
05.09.2012, 00:40	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
dann 1/2 e^2x ( 1+e^2x)^-1/2 Richtig?
05.09.2012, 00:42	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast. Es fehlt nur noch die innere Ableitung von $\begin{eqnarray} \mathrm e^{2x} \end{eqnarray}$ , damit kürzt sich die Zwei heraus: $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm du}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm e^{2x}}{\sqrt{1+\mathrm e^{2x}}}\,. \end{eqnarray}$
05.09.2012, 00:44	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht so ganz warum das e^2x oben am bruch steht? Kannst du mir das erklären?
05.09.2012, 00:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach nach der Kettenregel: $\begin{eqnarray} (f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)\,, \end{eqnarray}$ wobei hier $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x)=\mathrm e^{2x}+1 \end{eqnarray}$ .
05.09.2012, 00:50	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich habs verstanden . ABer wie integriert man so etwas ? Partielle integration oder wie?
05.09.2012, 00:53	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, wenn du das Integral dann richtig aufgestellt hast, kannst du eine Partialbruchzerlegung anwenden. Achte auch auf die Grenzen oder führe eine Rücksubstitution durch. Auf welches Integral kommst du denn jetzt? Stell den Integranden dann mal nur in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ dar.
05.09.2012, 10:01	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie wende ich genau an diesem Bruch partiabruchzerlegung an ?
05.09.2012, 10:46	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Indem du ihn zuerst einmal richtig aufschreibst. Der Integrand ist ja $\begin{eqnarray} u\frac{\sqrt{1+\mathrm e^{2x}}}{\mathrm e^{2x}}\,. \end{eqnarray}$ Schreib den mal nur unter Verwendung von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ .
05.09.2012, 11:50	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Chenetzer ,tut mir leid aber ich hab dich nicht ganz verstanden. Was meiinst du mit verwendung von u schreiben. Ich bin leider nicht so fit in PBZ
05.09.2012, 11:58	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die sollst du auch noch gar nicht anwenden. Du hast $\begin{eqnarray} u=\sqrt{1+\mathrm e^{2x}} \end{eqnarray}$ . Jetzt solltest du den Bruch $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{\mathrm e^{2x}+1}}{\mathrm e^{2x}} \end{eqnarray}$ nur unter Verwendung von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ schreiben. Wenn ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ im Integranden wäre, wäre das ja schwer zu integrieren.
05.09.2012, 12:14	Goofy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre dann ja u*wurzel aus u / e^{2x} Aber wie gehe ich weiter vor?
05.09.2012, 12:24	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du auf die Wurzel aus $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ ? Im Zähler steht doch $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ selbst. Und den Nenner solltest du auch umformen.

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