Wie bilde ich die n-te Ableitung von ln(1+x) ?

05.09.2012, 08:56

134340

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Wie bilde ich die n-te Ableitung von ln(1+x) ?

Hi Matheboarduser Wink

Wink

Ich habe schon wieder eine Frage zum Thema Logarithmen ableiten.

Ich komme einfach bei folgender Aufgabe nicht weiter: bilden Sie die Ableitungen $\begin{eqnarray*} f',f'',f''' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{(4)} \end{eqnarray*}$ der Funktion $\begin{eqnarray*} f:x \to ln(1+x) \end{eqnarray*}$ . Bilden Sie anschließend die Ableitung $\begin{eqnarray*} f^{(n)} \end{eqnarray*}$ und beweisen Sie diese durch vollständige Induktion.

Die erste Ableitung habe ich bereits hinbekommen, sie lautet $\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$ .
Aber ich bekomme die zweite einfach nicht hin unglücklich

unglücklich

ich habe keine Idee wie ich da vorgehen sollte. Zudem habe ich die vollständige Induktion auch schon ewig nicht mehr gemacht.
Könntet ihr mir da bitte ein paar Tipps geben?

05.09.2012, 09:00

klarsoweit

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RE: Wie bilde ich die n-te Ableitung von ln(1+x) ?
Hilfreich wäre, die 1. Ableitung so umzuformen: $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Das sollte es etwas einfacher mit den weiteren Ableitungen machen.

Und was die vollständige Induktion angeht, mußt du erstmal eine Vermutung für die n-te Ableitung aufstellen.

05.09.2012, 09:12

134340

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RE: Wie bilde ich die n-te Ableitung von ln(1+x) ?

Zitat:

Original von klarsoweit
Hilfreich wäre, die 1. Ableitung so umzuformen: $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Da wär ich nie drauf gekommen Big Laugh

Big Laugh

So, ich hab jetzt durch die Kettenregel: $\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{1}{(1+x)^2} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

05.09.2012, 09:25

klarsoweit

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RE: Wie bilde ich die n-te Ableitung von ln(1+x) ?
Das ist falsch und warum kehrst du wieder zur Bruchdarstellung zurück?

05.09.2012, 13:48

134340

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Mein Rechenweg sieht folgendermaßen aus:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=(1+x)^{-1} \end{eqnarray*}$ demnach ist $\begin{eqnarray*} g(x)=x^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x)=1+x \end{eqnarray*}$ . Somit ist $\begin{eqnarray*} g'(x)= -\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h'(x)=1 \end{eqnarray*}$ .
Achsooo, ich hatte g' falsch berechnet. Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-\frac{1}{x^2}= -\frac{1}{(1+x)^2} \end{eqnarray*}$ müsste jetzt aber stimmen oder?

Jetzt gehts an f''' geschockt

geschockt

05.09.2012, 13:53

klarsoweit

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Das ist zwar jetzt richtig, aber ich bevorzuge die Darstellung mit dem negativen Exponenten, weil du dann einfach die Regel für die Ableitung von x^n anwenden kannst.

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05.09.2012, 14:20

134340

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Gut, dann ist $\begin{eqnarray*} f''(x)=-(1+x)^{-2} \end{eqnarray*}$ smile

smile

Mein Rechenweg für''' sieht folgendermaßen aus:
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-(1+x)^{-2} \end{eqnarray*}$ demnach ist $\begin{eqnarray*} g(x)=-x^{-2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x)=1+x \end{eqnarray*}$ . Somit ist $\begin{eqnarray*} g'(x)= \frac{2}{x^3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h'(x)=1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{2}{(1+x)^3} \end{eqnarray*}$ müsste jetzt aber stimmen oder? Wie lautet hier die Klammerschreibweise?

05.09.2012, 14:37

klarsoweit

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Ich weiß nicht, warum du immer wieder zur Bruchschreibweise zurückkehrst. unglücklich

unglücklich

Für f(x) = x^n ist $\begin{eqnarray*} f'(x) = n \cdot x^{n-1} \end{eqnarray*}$ . Das gilt für alle n aus R, also auch für negative n.

05.09.2012, 16:58

134340

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Ich verwende immer wieder die Bruchschreibweise wegen dem $\begin{eqnarray*} g'(x)= \frac{2}{x^3} \end{eqnarray*}$ .
Und dann halte ich mich strickt an die Kettenregel. Aber deine Methode ist echt einfacher Big Laugh

Big Laugh

ich werde nun die Klammerschreibweide verwenden.

Demnach ist $\begin{eqnarray*} f'''(x)=2(1+x)^{-3} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{2}{(1+x)^3} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} f^{(4)}(x)=6(1+x)^{-4} \end{eqnarray*}$ .

Demnach ist die n-te Form $\begin{eqnarray*} f^{n}(x)=n(1+x)^{n-1} \end{eqnarray*}$ ??

05.09.2012, 17:10

klarsoweit

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Wie du leicht an deinen Ableitungen erkennen kannst, stimmt diese Formel offensichtlich nicht.

05.09.2012, 18:02

134340

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$\begin{eqnarray*} f'(x)=(1+x)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-(1+x)^{-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=2(1+x)^{-3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(4)}(x)=-6(1+x)^{-4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{n}(x)=n!(1+x)^{-n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Das is es ja schon fast. Aber ich scheitere immer an den ersten beiden unglücklich

unglücklich

Kannst du mir einen Tipp geben?

05.09.2012, 18:07

Monoid

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Hallo,

Bei deiner 4. Ableitung musst du noch ein - davor setzen. Tipp zum Vorzeichen: Nutze $\begin{eqnarray*} (-1)^n=1 \text{wenn n gerade; -1 wenn n ungerade} \end{eqnarray*}$

Mmm

05.09.2012, 19:14

134340

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Ich haaaaaaaaaabs geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

$\begin{eqnarray*} f^{n}(x)=((-1)^{n-1})(n-1)!(1+x)^{-n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Stimmt doch oder?

05.09.2012, 23:40

Dopap

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Zitat:

Original von 134340
$\begin{eqnarray*} f^{n}(x)=((-1)^{n-1})(n-1)!(1+x)^{-n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Stimmt doch oder?

nicht ganz, der Index läuft erst ab 1, deshalb $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N^* \end{eqnarray*}$

( "neuerdings" enthält $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Null, das alte $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist nun $\begin{eqnarray*} \mathbb N^* \end{eqnarray*}$ .... [ N ohne Null ]

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=((-1)^{n-1})(n-1)!(1+x)^{-n} \end{eqnarray*}$

es geht aber auch

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=((-1)^{n+1})(n-1)!(1+x)^{-n} \end{eqnarray*}$

das ist nun die Hypothese , das was als richtig angesehen wird.

Jetzt noch Nachweis durch vollständige Induktion !

05.09.2012, 23:49

Che Netzer

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@Dopap:

Zitat:

Original von Dopap
( "neuerdings" enthält $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Null, das alte $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist nun $\begin{eqnarray*} \mathbb N^* \end{eqnarray*}$ .... [ N ohne Null ]

Was?

geschockt

Wurde das plötzlich unter allen Mathematikern so vereinbart?
Bei uns werden meist $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ verwendet; ich finde, die Wahl sollte man dem Fragesteller bzw. dessen Dozenten doch noch selbst überlassen.

06.09.2012, 00:00

Dopap

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war nur meine Meinung nach DIN

find ich aber auch schöner , da Abgrenzungen am "Index" erfolgen und nicht im "Exponenten" z.B.

$\begin{eqnarray*} x>0 \Leftrightarrow \mathbb R_{+}^* \end{eqnarray*}$

aber keine Frage, in einem guten Skript steht sowieso wie es zu verstehen ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2012, 00:06

Iorek

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Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} \mathbb N^* \end{eqnarray*}$ .... [ N ohne Null ]

Da hätte ich aber ein großes Problem mit, normalerweise lese ich $\begin{eqnarray*} R^* \end{eqnarray*}$ als Einheitengruppe des Rings $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ mit 1, so ist z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^* =\{-1,1\} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \{,\dots,-3,-2,-1,1,2,3\dots\} \end{eqnarray*}$ . Wenn man das einheitlich verwendet, wäre dann $\begin{eqnarray*} \mathbb N^*=\{1\} \end{eqnarray*}$ ...was haben sich die werten Herren bei DIN denn dabei gedacht?

06.09.2012, 00:26

Dopap

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dann müsst Ihr die Schreibfigur für Einheitengruppen eben ändern Big Laugh

Big Laugh

1971 hatte ich einen Prof, der konnte alle deutschen Gross- und Kleinbuchstaben, sowie die griechischen ...und weiss was noch alles, mit Kreide perfekt auf die Tafel bringen.

Auf meine Frage, warum so viele Symbole ??

sagte er: In der Mathematik gibt es immer zu wenig Symbole.... Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2012, 08:11

134340

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Oh das mit dem $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ hatte ich ganz vergessen. Mir wurde das so erklärt, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb N ^* \end{eqnarray*}$ die Natürlichenzahlen ohne die 0 sind und das normale N ist ab 1.

Aber ich habe schon ewig nichts mehr durch vollständige Induktion bewiesen.
Ich weiß nur noch, dass es Induktionsanfang, Induktionsschritt, Induktionsvorraussetzung und Induktionsschluss gab. Aber in welcher Reihenfolge und wie ich die verwende weiß ich leider nicht mehr so genau verwirrt

verwirrt

. Ich probiers einfach mal smile

smile

Ind-Anfang: $\begin{eqnarray*} A(1): \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f^{n}(x)=((-1)^{1-1})(1-1)!(1+x)^{-1}=(x+1)^{-1} \end{eqnarray*}$
Ind-Schluss: $\begin{eqnarray*} A(1) \Rightarrow A(k+1) \end{eqnarray*}$
Beweis: $\begin{eqnarray*} f^{(k-1)} (x)=\left[f^{(k)}(x)\right]' =\left[((-1)^{k-1})(k-1)!(1+x)^{-k}\right]' = ... \end{eqnarray*}$ Weiter komm ich nicht unglücklich

unglücklich

Was muss denn ma Ende des beweises stehen?

06.09.2012, 08:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von 134340
Ind-Schluss: $\begin{eqnarray*} A(1) \Rightarrow A(k+1) \end{eqnarray*}$
Beweis: $\begin{eqnarray*} f^{(k-1)} (x)=\left[f^{(k)}(x)\right]' =\left[((-1)^{k-1})(k-1)!(1+x)^{-k}\right]' = ... \end{eqnarray*}$

So wäre es richtig:

Ind-Schluss: $\begin{eqnarray*} A(k) \Rightarrow A(k+1) \end{eqnarray*}$
Beweis: $\begin{eqnarray*} f^{(k+1)} (x) = \left[f^{(k)}(x)\right]' = \left[((-1)^{k-1})(k-1)!(1+x)^{-k}\right]' = ... \end{eqnarray*}$

Was sagt uns nun der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \left[((-1)^{k-1})(k-1)!(1+x)^{-k}\right]' = ... \end{eqnarray*}$ ?

Offensichtlich doch wohl, daß du $\begin{eqnarray*} \left[((-1)^{k-1})(k-1)!(1+x)^{-k}\right] \end{eqnarray*}$ ableiten mußt. smile

smile

06.09.2012, 08:51

134340

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Ind-Anfang: $\begin{eqnarray*} A(1): \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f^{n}(x)=((-1)^{1-1})(1-1)!(1+x)^{-1}=(x+1)^{-1} \end{eqnarray*}$
Ind-Schluss: $\begin{eqnarray*} A(k) \Rightarrow A(k+1) \end{eqnarray*}$
Beweis: $\begin{eqnarray*} f^{(k-1)} (x)=\left[f^{(k)}(x)\right]' =\left[((-1)^{k-1})(k-1)!(1+x)^{-k}\right]' = (-1)^{k}k(k-1)!(1+x)^{-k-1} \end{eqnarray*}$

Wars das jetzt? Ich weiß gerade echt nicht, worauf ich hinaus will bzw. was das Ziel ist Big Laugh

Big Laugh

06.09.2012, 09:31

Mystic

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Zitat:

Original von Dopap
dann müsst Ihr die Schreibfigur für Einheitengruppen eben ändern Big Laugh

Big Laugh

Ich bin mit Dopap bei Gott nicht immer einer Meinung, aber da 100%... Freude

Freude

Der hochgestellte Stern hat nun mal in der Mathematik bei Zahlenmengen und auch darüberhinaus z.B. allgemein bei Ringen seit jeher die Bedeutung, dass man die Null entfernt... Speziell bei Körpern erhält man damit zufälligerweise auch die Einheitengruppe, allgemein ist das aber nicht so, d.h., man muss sich dann nach einer neuen Bezeichnung für die Einheitengruppe eines Rings R, z.B. E(R), umsehen... Das sollte aber nun wirklich kein Problem sein... Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2012, 14:32

134340

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Wie geht denn der Beweis weiter? Ich komme nicht über diesen Punkt hinaus
Ind-Anfang: $\begin{eqnarray*} A(1): \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f^{n}(x)=((-1)^{1-1})(1-1)!(1+x)^{-1}=(x+1)^{-1} \end{eqnarray*}$
Ind-Schluss: $\begin{eqnarray*} A(k) \Rightarrow A(k+1) \end{eqnarray*}$
Beweis: $\begin{eqnarray*} f^{(k-1)} (x)=\left[f^{(k)}(x)\right]' =\left[((-1)^{k-1})(k-1)!(1+x)^{-k}\right]' = (-1)^{k}k(k-1)!(1+x)^{-k-1} \end{eqnarray*}$

06.09.2012, 14:42

klarsoweit

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Im Prinzip richtig, nur vorne muß es - wie ich oben schon erwähnte - $\begin{eqnarray*} f^{(k+1)} (x) \end{eqnarray*}$ heißen.

Jetzt mußt du mal schauen, was denn laut Behauptung rauskommen muß und wie du mit deinem Zwischenergebnis dahinkommen kannst.

06.09.2012, 15:34

134340

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Die Behauptung ist ja dass $\begin{eqnarray*} f^{n}(x)=((-1)^{n-1})(n-1)!(1+x)^{-n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N^* \end{eqnarray*}$ gilt. Jetzt muss ich sozusagen die k+1 form dahin bringen, oder nicht?

06.09.2012, 15:49

klarsoweit

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Genau. Und das ist jetzt wirklich nur noch ein klitzekleiner Schritt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2012, 16:06

134340

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Ich hab jetzt schon ein paar Sachen ausprobiert, aber es will nicht klappen unglücklich

unglücklich

Nur noch mal um sicher zu gehen. Ich soll $\begin{eqnarray*} f^{n}(x)=((-1)^{n-1})(n-1)!(1+x)^{-n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N^* \end{eqnarray*}$ auf die Form $\begin{eqnarray*} f^{(k+1)} (x)= (-1)^{k}k(k-1)!(1+x)^{-k-1} \end{eqnarray*}$ bringen?

06.09.2012, 18:18

Mystic

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Zitat:

Original von klarsoweit
Genau. Und das ist jetzt wirklich nur noch ein klitzekleiner Schritt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ein klitzelkleiner Schritt für dich, aber ein Riesenschritt für 134340... Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von 134340
Nur noch mal um sicher zu gehen. Ich soll $\begin{eqnarray*} f^{n}(x)=((-1)^{n-1})(n-1)!(1+x)^{-n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N^* \end{eqnarray*}$ auf die Form $\begin{eqnarray*} f^{(k+1)} (x)= (-1)^{k}k(k-1)!(1+x)^{-k-1} \end{eqnarray*}$ bringen?

Du sollst die Formel für $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) \end{eqnarray*}$ (Schreibweise beachten!) einmal ableiten und zeigen, dass sie wieder die Form hat, welche sie haben müsste, wenn sie auch für die (n+1)-te Ableitung stimmen würde... Alle Unklarheiten beseitigt? Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2012, 19:28

134340

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Zitat:

Original von Mystic
Alle Unklarheiten beseitigt? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nein leider nicht. Ich cheks immer noch nicht verwirrt

verwirrt

Könntest du mir bitte mal sagen, welche formel ich in was umformen soll?

07.09.2012, 08:37

klarsoweit

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Nochmal ein paar Hinweise zur Vorgehensweise beim Induktionsschritt:

Du willst zeigen, daß $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) = ((-1)^{n-1})(n-1)!(1+x)^{-n} \end{eqnarray*}$ gilt.

Du nimmst nun an, daß diese Gleichung für ein beliebiges, aber festes k gilt.
Dann mußt du zeigen, daß die Gleichung auch für (k+1) gilt.

Jetzt schreiben wir mal die Aussage für k+1 hin: $\begin{eqnarray*} f^{(k+1)}(x) = ((-1)^{k+1-1})(k+1-1)!(1+x)^{-(k+1)} = ((-1)^{k}) (k)! (1+x)^{-k-1} \end{eqnarray*}$ (A)

Jetzt hast du die linke Seite genommen und hast diese mittels der Induktionsvoraussetzung umgeformt:

$\begin{eqnarray*} f^{(k+1)}(x) = [f^{(k)}(x)]' = ... = ((-1)^{k}) k (k-1)! (1+x)^{-k-1} \end{eqnarray*}$ (B)

Alles, was du jetzt noch machen mußt (= klitzekleiner Schritt), ist, daß du die rechte Seite von (B) so umformst, daß du auf die rechte Seite von (A) kommst.

11.09.2012, 13:12

134340

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Leider konnte ich mich erst jetzt wieder melden.

(B) = $\begin{eqnarray*} f^{(k+1)}(x) = [f^{(k)}(x)]' = ... = ((-1)^{k}) k (k-1)! (1+x)^{-k-1}=((-1)^{k}) (k)! (1+x)^{-k-1} \end{eqnarray*}$ man kann das durch das Fakultätszeichen einfach zusammenfassen.

(A) = $\begin{eqnarray*} f^{(k+1)}(x) = ((-1)^{k+1-1})(k+1-1)!(1+x)^{-(k+1)} = ((-1)^{k}) (k)! (1+x)^{-k-1} \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} A \Leftrightarrow B \end{eqnarray*}$

Damit müsste es jetzt bewiesen sein smile

smile

11.09.2012, 13:35

klarsoweit

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OK.

Freude

11.09.2012, 15:00

134340

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Danke an die vielen Helfer Wink

Wink

ohne euch wäre ich wohl verzweifelt Big Laugh

Big Laugh

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