Partielle Ableitungen und Extremwerte

05.09.2012, 12:22

Sippi20

Partielle Ableitungen und Extremwerte

Meine Frage:
Hallo,
ich schreibe bald im Studium eine Matheklausur und bin nun seit einiger Zeit am lernen. Nun bin ich beim Thema partielle Ableitungen angelangt.
Doch leider verstehe ich dieses Thema noch nicht so ganz.
Zum Beispiel folgende Aufgabe:
Untersuchen Sie folgende Funktion auf Extremwerte und geben Sie die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung an.
$\begin{eqnarray*} h(x,y)= 2x^{2} +y^{2} + 5x - 4 - 2xy \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
In meinem Mathebuch hab ich leider nichts passendes gefunden. Im Internet habe ich allerdings ein paar nützliche Videos gesehen.

Eine Sache die mich verwirrt ist, dass ich nicht weiß, wohin ich ableiten soll. Nach Y oder nach X? Eine Variable muss ich ja konstant halten, um Ableiten zu können.
Und wenn ich dann abgeleitet habe, muss ich ja die 1. Ableitung null setzten und die Nullstellen berechnen. Aber wie mache ich das denn mit zwei Variablen? Die 2. Ableitung ist ja dann dafür da, dass ich überprüfe, ob es Hoch- oder Tiefpunkte sind.
Insgesamt tue ich mich mit diesen zwei Variablen schwer.
Es wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte. Ich möchte gar nicht so sehr die Aufgabe gelöst haben, vielmehr würde es mich freuen, wenn mir jemand die einzelnen Schritte zum Lösen der Aufgabe erlären könnte.
Vielen Dank!

05.09.2012, 12:27

Che Netzer

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RE: Partielle Ableitungen und Extremwerte
Hallo,

da leitest du einfach nach beiden Variablen ab Augenzwinkern

Einmal nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und einmal nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Dann setzt du beide Ableitungen gleich Null (das passt schon eher zu den zwei Variablen).

Bei den partiellen Ableitungen zweiter Ordnung hast du dann entsprechend vier Kombinationen. (Kennst du den Satz von Schwarz?)

Als ersten Schritt bildest du also $\begin{eqnarray*} \frac{\partial h}{\partial x}(x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial h}{\partial y}(x,y) \end{eqnarray*}$ .
Diese beiden Ableitungen setzt du gleich Null und suchst die Lösungen $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ .

mfg,
Ché Netzer

05.09.2012, 13:53

Sippi20

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Das hat mir schon ein gutes Stück weit geholfen, Danke! smile

Also müssten dann die ersten und zweiten Ableitungen so aussehen:
1. Ableitungen:
$\begin{eqnarray*} h_{x}(x,y) = 4x + y^{2} + 1 - 2y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h_{y}(x,y) = 2x^{2} + 2y +5x -4 - 2x \end{eqnarray*}$

2. Ableitungen:
$\begin{eqnarray*} h_{xx}(x,y) = 5 + y^{2} - 2y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h_{xy}(x,y) = 4x + 2y -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h_{yy}(x,y) = 2x^{2} + 5x - 2 - 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h_{yx}(x,y) = 4x +2y -1 \end{eqnarray*}$

Der Satz von Schwarz besagt ja, dass die vier 2. Ableitungen gleich sind.

Das heißt theoretisch jetzt, dass ich die Nullstellen der 1. Ableitung finden muss und zur Überprüfung nur in einer der 2. Ableitungen einsetzten muss?

Bis dahin verstehe ich das jetzt.
Aber wie berechne ich jetzt von den 1. Ableitungen die Nullstellen?

05.09.2012, 13:58

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sippi20
$\begin{eqnarray*} h_{x}(x,y) = 4x + {\color{red}y^{2} + 1} - 2y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h_{y}(x,y) = {\color{red}2x^{2}} + 2y +{\color{red}5x -4} - 2x \end{eqnarray*}$

Das rot markierte ist noch falsch. Beachte, dass konstante Summanden beim Differenzieren wegfallen.
Danach sind die Nullstellen auch etwas leichter zu finden.

Edit: Der Satz von Schwarz besagt nicht, dass alle vier zweiten Ableitungen gleich sind, sondern nur $\begin{eqnarray*} h_{xy} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_{yx} \end{eqnarray*}$ .

05.09.2012, 14:28

Sippi20

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Oh ja sitmmt.
Ich verstehe aber nicht, warum du $\begin{eqnarray*} y^{2} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 2x^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 5x \end{eqnarray*}$ unterstrichen hast. Ich dachte, wenn ich nach einer Variable ableite bleibt die andere unverändert erhalten.
Die Nullstellen erhalte ich dann, indem ich ein Gleichungssystem aufstelle oder?

Sorry wenn ich mich grad ein wenig blöd anstelle, aber dieses Thema liegt mir irgendwie überhaupt nicht...

05.09.2012, 14:30

Che Netzer

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Wenn du nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableitest, behandelst du $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ja als Konstante (und andersrum).

Und ja, wenn du beide Ableitungen nullsetzt, hast du ein Gleichungssystem.

05.09.2012, 14:49

Sippi20

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Also sind dann die 1. Ableitungen:
$\begin{eqnarray*} h_{x}(x,y) = 4x + 5 -2y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h_{y}(x,y) = y^{2} - 2x \end{eqnarray*}$

Die dann = 0 setzten und auflösen.

Für $\begin{eqnarray*} h_{x}(x,y) = 4x + 5 -2y = 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} y = 2x + 2,5 \end{eqnarray*}$
eingesetzt ergibt das $\begin{eqnarray*} h_{x}(x,y) = 4x + 5 - 4x + 2,5 \end{eqnarray*}$
Und jetzt einfach die Nullstelle berechnen.
Das selbe noch für $\begin{eqnarray*} h_{y}(x,y) = y^{2} - 2x \end{eqnarray*}$ .

Ist das jetzt hoffentlich richtig?

05.09.2012, 14:51

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sippi20
$\begin{eqnarray*} h_{y}(x,y) = {\color{red}y^{2}} - 2x \end{eqnarray*}$

Da ist noch ein neuer Fehler reingerutscht.

05.09.2012, 14:59

Sippi20

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Ja klar!
2y muss das natürlich heißen.
Da ging die Konzentration langsam flöten^^
Aber ansonsten war das richtig oder?

05.09.2012, 15:07

Che Netzer

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Ja, jetzt stimmen die Ableitungen. Und aus der nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ kannst du schon eine ganz tolle Bedingung an die Nullstellen aufstellen Augenzwinkern

05.09.2012, 22:15

Sippi20

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Ja Y ist dann gleich X.

Super! Vielen lieben Dank für deine Mühe! Du hast mir echt weiter geholfen. Ich werde bei dem Thema bestimmt ein paar Punkte holen Augenzwinkern

Danke!
Gruß Sippi20

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