Fuer welche x konvergiert die Reihe Teil 2

02.02.2007, 11:24	septi	Auf diesen Beitrag antworten »
Fuer welche x konvergiert die Reihe Teil 2 Nachdem ich jetzt schon knapp 30 Reihen hinter mir habe, sollte es eigentlich kein Problem mehr sein, ich haenge aber trotzdem $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~ \frac{x^{n}}{1+x^{n}} \end{eqnarray}$ Wurde zwar in einem anderen Beitrag vor ein paar Tagen gestellt, aber nicht drauf eingegangen. Ich habe versucht mittels Integralkriterium ranzugehen, allerdings habe ich da Probleme mit der Stammfunktion. Naja, hat jemand einen kleinen Denkanstoss fuer mich?
02.02.2007, 11:36	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fuer welche x konvergiert die Reihe Teil 2 Kriterien Wann sie konvergiert, weiß ich im Moment nicht. Aber wann sie nicht konvergiert Wann sind denn die $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ keine Nullfolge?
02.02.2007, 12:13	septi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja gut, das haette ich vielleicht noch dazu schreiben koennen.. Die Divergenz fuer $\begin{eqnarray} \|x\|\geq 1 \end{eqnarray}$ . Aber mir gehts eher darum welches Kriterium hier geeignet ist, ich denke ich mach wohl bei den Umformungen was falsch...
02.02.2007, 13:06	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn man es nicht schon durch hinschauen sieht (dazu zähle ich mich) dann würd ich hier einfach mal das Quotientenkriterium anwenden dann bekommste am ende das raus : $\begin{eqnarray} \frac {1+ x^n} {\frac 1 x + x^n} \end{eqnarray}$ So und naja ob man es jetzt besser sieht weiß ich nicht aber für $\begin{eqnarray} \|x\| > 1 \end{eqnarray}$ wird der Zähler immer größer damit immer > 1 divergent nach Qk $\begin{eqnarray} \|x\| = 1 \end{eqnarray}$ kommt einfach nur 1 raus da haste nen Problem mit dem QK $\begin{eqnarray} \|x\| < 1 \end{eqnarray}$ wird der Nenner immer Größer und du erhälst immer etwas das kleiner 1 ist nach QK also Konvergent
02.02.2007, 13:31	septi	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, das hoert sich schonmal nach was an danke dir
03.02.2007, 11:04	Sebi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die aufgabe folgendermaßen gelöst: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \mid \frac{x^{n+1}}{1+x^{n+1}} \cdot \frac{1+x^n}{x^n}\mid = \mid x \mid \lim_{n \to \infty } \mid \frac{1+x^n}{1+x^{n+1}}\mid = () \end{eqnarray}$ Fallunterscheidung: Betrag x < 1: $\begin{eqnarray} () = \mid x \mid \cdot \mid \frac{1+0}{1+0} \mid = \mid x \mid \Rightarrow \end{eqnarray}$ Konvergenz Betrag x > 1: $\begin{eqnarray} () = \lim_{n \to \infty} \mid \frac {1/x^n + 1} {1/x^{n+1}+1} \mid = 1 \end{eqnarray}$ Quotientenkriterium liefert keine Aussage! Deshalb schätze ich ab: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~\frac{x^n}{1+x^n} \geq \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ Divergente Reihe! Für x = -1 ist die Reihe für alle ungerade n nicht definiert, da Nenner = 0 !!! Für x = 1 hat man ebenfalls die divergente Reihe 1/2 ! Die Reihe konvergiert also für alle x \in ]-1,1[ Bitte sagt mir mal bescheid, ob das alles richtig ist! Wir schreiben in 3 Stunden Klausur! Gruß
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