Grenzwert einer Funktion mit Wurzeln

05.09.2012, 12:34

d1ff3r3nT

Grenzwert einer Funktion mit Wurzeln

Guten Tag!

Ich bin gerade an der Klausurvorbereitung dran und stehe vor einer Aufgabe, die ich nur bis zu einem gewissen Punkt lösen konnte und jetzt nicht mehr weiter weiß.

Ich schätze ich brauch einen gewissen Trick

Aufgabenstellung

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{( \sqrt{x+\sqrt{x}} - \sqrt{x-\sqrt{x}} )} \end{eqnarray*}$

Das hab ich per anwenden der dritten binomischen Formel und weiteres umformen jetzt soweit, dass ich folgende Form erreicht habe:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + x*\sqrt{x}} + \sqrt{x^2 - x*\sqrt{x}}} )} \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich allerdings nicht weiter.. laut WolframAlpha kommt 1 als Ergebnis raus, jedoch funktioniert die "Show Steps"-Funktion nicht bei dieser Formel. Anscheinend muss ich ja das x aus dem Zähler irgendwie herauskürzen oder so, doch wie stelle ich das an?

Wäre für Hilfe dankbar!

05.09.2012, 12:37

chris95

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Versuch mal ein x zu kuerzen.

05.09.2012, 12:55

d1ff3r3nT

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Zitat:

Original von chris95
Versuch mal ein x zu kuerzen.

? wie soll ich das denn machen?

05.09.2012, 13:16

klarsoweit

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Statt mit Wurzel(x) zu erweitern, hättest du Wurzel(x) kürzen müssen. smile

05.09.2012, 13:31

d1ff3r3nT

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hmm... was meint ihr mit kürzen? im Nenner hab ich ja kein Wurzel(x) einfachso stehen?

aalsoo.. ich gehe dann mal ein paar Schritte zurück zu dem Punkt wo ich noch nicht mit Wurzel(x) erweitert hatte.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow \infty}(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}} + \sqrt{x-\sqrt{x}}} ) \end{eqnarray*}$

und jetzt? wie soll ich die Wurzel(x) da kürzen? Ich kann ja nicht einfach so im Nenner Wurzel(x) ausklammern, da der Nenner ja aus Summen besteht?

05.09.2012, 13:47

klarsoweit

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Also ich weiß jetzt nicht, wo das Problem ist.

Beim Erweitern hast du Zähler und Nenner mit Wurzel(x) multipliziert und das ging.
Beim Kürzen mußt du Zähler und Nenner durch Wurzel(x) dividieren. Und das geht nicht wesentlich anders.

05.09.2012, 13:58

d1ff3r3nT

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ich verstehe nicht inwiefern mich das weiterbringt -> klar weiß ich was kürzen ist. aber wenn ich Wurzel(x) rauskürze dann hab ich die zwar aus dem Zähler weg, aber im Nenner hab ich jetzt große Gleichungen - wie kann ich die umformen?

irgendwie stelle ich mich glaub ich zu doof an grad^^

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow \infty} ( \frac{2}{\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}} ) \end{eqnarray*}$

jetzt kann ich im Nenner ja teilweise dividieren bzw. den Bruch "auseinanderziehen" - aber wie kann ich z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ berechnen?

05.09.2012, 15:23

Mork vom Ork

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Zitat:

Original von d1ff3r3nT
... aber wie kann ich z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ berechnen?

So: $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+b}c} \end{eqnarray*}$

06.09.2012, 16:18

d1ff3r3nT

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Ok danke - habs mithilfe eines Tutors gelöst und poste hier mal den Rechenweg, falls es jemanden anderes noch interessiert:

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to \infty } (\frac{2}{\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} } ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to \infty } (\frac{2}{\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to \infty } (\frac{2}{ \sqrt{ \frac{x+\sqrt{x}}{x} }+\sqrt{\frac{x-\sqrt{x}}{x}} } ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to \infty } (\frac{2}{ \sqrt{ 1+\frac{\sqrt{x}}{x} } + \sqrt{ 1-\frac{\sqrt{x}}{x} }} ) \end{eqnarray*}$

-----------------------------------
Nebenrechnung:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$
-----------------------------------

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to \infty } (\frac{2}{ \sqrt{ 1+\frac{1}{x} } + \sqrt{ 1-\frac{1}{x} }} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{2}{ \sqrt{ 1+0 } + \sqrt{ 1-0 }} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{2}{ 1+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{2}{ 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1 \end{eqnarray*}$

06.09.2012, 17:22

Mystic

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Huch, eigentlich hätte ich da noch einen anderen "Trick" auf Lager, aber nachdem ich deine rekordverdächtigen Umformungen oben (und das noch dazu mit Unterstützung deines Tutors!) gesehen habe, hat mich ein bißchen der Mut verlassen... traurig

Aber trotzdem, nur für den Fall, dass es noch "jemand anderes interessiert", hier die Rechnung dazu...

Man braucht dafür dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac {\sqrt{1+ h}-1}h \end{eqnarray*}$

nichts anderes ist als die Ableitung f'(1)=1/2 von f(x)= $\begin{eqnarray*} \sqrt x \end{eqnarray*}$ , wenn man diese als Grenzwert von Differenzenquotienten schreibt... Ist das soweit einmal klar? Dann jetzt bitte festhalten, denn wir brauchen nun einige halsbrecherische Umformungen (jetzt gemessen an deinen obigen!) um diese Tatsache auch auszunutzen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x+\sqrt x}- \sqrt{x-\sqrt x} \right)=\lim_{x \to \infty} \sqrt x\left(\sqrt{1+\frac1{\sqrt x}}- \sqrt{1-\frac1{\sqrt x}} \right)=\lim_{x \to \infty} \frac{\left(\sqrt{1+\frac1{\sqrt x}}-1\right)- \left(\sqrt{1-\frac1{\sqrt x}}-1 \right)}{\frac1{\sqrt x}}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0} \frac {\sqrt{1+h}-1}h+\lim_{h \to 0} \frac {\sqrt{1-h}-1}{(-h)}=\frac 12+\frac 12=1 \end{eqnarray*}$

Dabei habe im Verlauf dieser Umformungen irgendwann $\begin{eqnarray*} h=\frac1{\sqrt x} \end{eqnarray*}$ gesetzt, was für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ natürlich gegen 0 geht...

06.09.2012, 17:36

Che Netzer

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Zitat:

Original von d1ff3r3nT
$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to \infty } (\frac{2}{ \sqrt{ 1+\frac{1}{x} } + \sqrt{ 1-\frac{1}{x} }} ) \end{eqnarray*}$

Hier fehlt dann entsprechend die Wurzel bei den beiden $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , ändert aber am Ergebnis natürlich nichts.

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