GK 12 Analysis: Funktionenschar und Flächeninhalt |
| 05.09.2012, 16:20 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| GK 12 Analysis: Funktionenschar und Flächeninhalt Wir haben mit Mathe GK eine Aufgabe bekommen. Die Funktion f ist durch y=f(X)=(4X+5)/((X^2)-1) gegeben. Fragen sind: .Der Punkt P (u/v) mit u>1 liegt auf dem Graphen der Funktion f. P und Q (1/0) sind die Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks mit dem Inhalt A(u). Bestimmen Sie A(u). .Gegeben sind die Funktionen ft (t Element R, t>0) durch y=ft(X)=(t*X+5)/((X^2)-1) Zeigen Sie, dass alle Graphen von ft einen Punkt gemeinsam haben und berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes S. Für t ungleich 5 haben die Tangenten an die Graphen der Funktion ft in S mit den Graphen einen weiteren Punkt R gemeinsam. Zeigen Sie, dass R auf der x-Achse liegt. Meine Ideen: Ich weiß, dass bei erstens A gesucht ist und dass wenn man das Rechteck nummeriert (wobei P die Ecke rechts oben symbolisiert), dann Q(1/0) S(u/0) P(u/f(u)) R(1/f(u)) gilt. Somit würde sich A(u)=(u-1)*f(u) ergeben. Doch wie mache ich da jetzt weiter? Bei der zweiten Aufgabe hab ich keinen blassen Schimmer, außer vielleicht, dass man sich zwei ts auswählt und dann vielleicht den Punkt bestimmt. |
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| 06.09.2012, 00:26 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: GK 12 Analysis
Das ist genau die richtige Vorgangsweise! Fange einmal damit an, allgemein mit t1 und t2, wobei die beiden nicht gleich sein dürfen. Dann sehen wir weiter! ______________ Zu 1. Warum schreibst du die x groß? Klein x reicht vollkommen 
Deine bisherige Rechnung ist richtig! Ersetze nun f(u) durch den Funktionsterm in u (x --> u) und beachte, dass du durch (u - 1) kürzen kannst! mY+ |
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| 06.09.2012, 13:02 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: GK 12 Analysis
Aber reicht das dann um das zu zeigen, dass die einen Punkt gemeinsam haben, und wie ist das mit t ungleich 5? Soll ich mir da einfach auch wieder zwei Ts bestimmen und dann dann die Formel mit x=0 berechnen? ----------- Zu.1. Wie meinst du, dass ich den Funktionsterm ersetzen soll? |
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| 07.09.2012, 00:15 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das reicht! Vor allem wenn du zwei allgemeine Parameter t1 und t2 mit t1 ungleich t2 annimmst. x = 0 ist NICHT anzunehmen, das x solltest du durch Rechnung erhalten! Forme diese Gleichung nun weiter um, reduziere und zuletzt ist x auszuklammern. Die Lösung für x ist dann einfach ... (dazu noch y berechnen) --> S _______ Dass man den Fall t = 5 ausschließen muss, ergibt sich erst nach der weiteren Rechnung. Bestimme also in dem ermittelten Schnittpunkt S die Steigung der Tangente, abhängig von t. Diese wird für den errechneten x-Wert sehr einfach und damit auch die Gleichung der Tangente. Schneide diese mit der gegebenen Kurve, diesmal kommen zwei x-Werte als Lösung. Der erste ist jener von S, der zweite vom neuen Punkt R. Der y-Wert von R muss 0 sein, wenn er auf der x-Achse liegen soll .... (bei t = 5 wird es nur einen Wert für x geben, das ist der von S; daher gibt es in diesem Fall keinen zweiten Schnittpunkt) ___________________________________ Zu 1. Du sollst einfach statt x die Variable u einsetzen, dann kannst du damit die Fläche A(u) wie bereits angegeben ermitteln. mY+ |
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| 07.09.2012, 14:32 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie bestimme ich aus dem Schnittpunkt S(0/-5) die Steigung. Ich habe verschiedenes ausprobiert aber komme da auf keinen grünen Zweig. |
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| 09.09.2012, 00:19 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zur Berechnung der Steigung gibt es umfassende Informationen, die du ohne viel Mühe auch selbst einholen kannst. Bitte mehr Initiative von deiner Seite, denn unsere Hilfe kann und wird immer nur Hilfe zu Selbsthilfe sein, gemäß unserem Motto. Ein Tipp sei gegeben: Die Ermittlung der Steigung der Tangente an den Graphen in einem Punkt hat etwas mit der Ableitung zu tun ... ________________ Und es ist nicht nachzuvollziehen, weshalb du zu der anderen Frage einen neuen Thread aufmachst, obwohl du HIER darüber schon viel Informationen und sogar den entsprechenden Ansatz bekommen hast. Das ist als ein Affront gegen den Helfer aufzufassen, denn es entsteht der Eindruck, du denkst ".. das versteh' ich nicht, da der mir das nicht erklären kann, frag ich halt wen anderen und mach' lieber einen neuen Thread auf". Das funktioniert hier aber nicht. Der zweite Thread wurde geschlossen. Du kannst hier fragen, und das so lange, bis du das verstehst. Die endgültige Lösung der Aufgabe ist aber letztendlich deine Challenge. mY+ |
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| 09.09.2012, 08:41 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich weiß, habe ich schließlich auch versucht, hat nicht geklappt, so wie du es geschrieben hattest. und zu (u-1) kürzen, wenn die Funktion (u-1)*(4u+5)/(u^2-1), kann ich doch nur u kürzen... Aber okay, wenn es meine Challenge ist, dann brauche ich dich ja nicht zu fragen. |
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| 09.09.2012, 10:01 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
als Tangente hätte ich: t(x)=2x-7 und R wäre (3,5/0), wenn S(0/-5) ist. das waren meine ersten Versuche, dann ist mir aufgefallen, dass die Tangente dann keine Tangente am Funktionsgraphen wäre, folglich muss t(x)=2x-5 sein und R wäre folglich (2,5/0) Danke |
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| 09.09.2012, 13:19 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Durch u eben NICHT! Denke an eine binomische Formel für den Nenner. Man kann doch zerlegen ...
Wie schon gesagt, fragen darfst du doch immer, deine Challenge ist es, die Aufgabe selbst zu lösen. Unsere Challenge ist es, dir dabei zu helfen und darüber hinaus, dass du dann ein "AHA-Erlebnis" hast, also mit anderen Worten beim Lösungsweg und dem Endresultat voll durchblickst. _____________________ Zur Tangente: Diese ist im Punkt (0; -5) aufzustellen, richtig. Wie du auf die Steigung 2 und auf den y-Abschnitt -7 kommst, ist mir schleierhaft. Kannst du das mal zeigen? Der y-Abschnitt muss doch -5 sein (darauf bist du dann auch selbst gekommen 
), weil die Tangente dort hindurchgeht. Und die Steigung muss auch noch t beinhalten.Schreibe mal die Ableitung hin und setze dann dort für x = 0 ein, das ergibt dann die gesuchte Steigung. _____________________ Und nochmals zu den zwei t-Werten. Im anderen Thread wurde dir gesagt, dass man es allgemein rechnen solllte. Den Ansatz dazu hast du ja bereits, zur Lösung brauchst du nur noch zwei Zeilen (wie, das steht auch schon beim Ansatz) .. mY+ |
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| 09.09.2012, 14:40 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, dass ist mir im Nachhinein beim Kürzen auch aufgefallen, nur jetzt hakt es bei der Extremwertaufgabe, das wird bei mir nichts. entweder steht dann 0=-1 oder u=1, aber naja. ------- Und wie meinst du, dass ich nur noch zwei Zeilen brauche? ------- Ja, kann ich machen, später. Wenn ich jetzt die Funktion ft1(x)=(2x+5)/(x^2-1) habe, dann ist die Ableitung doch ft1'(x)= (-2x^2-10x-2)/(x^4-1). Dann setzte ich für x=0 ein und bekomme 2 als m, oder nicht? Also wäre folglich meine Tangente, da sie ja -5 'durchqueren' muss t(x)=2x-5?! Und mein GTR meint, dann das R (2,5/0) ist... |
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| 09.09.2012, 14:50 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Welche Extremwertaufgabe? Davon steht ja nichts .. oder soll etwa jenes u gefunden werden, für welches A maximal wird? ______________________ Mit dem gleichen Nenner multiplizieren, die 5 reduzieren, die x-Glieder nach links, rechts = 0, x ausklammern ... ______________________ Die Ableitung stimmt nicht. Im Nenner muss stehen, das ist NICHT , der Zähler muss lauten. Wo sind bei dir die t hingekommen? mY+ |
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| 09.09.2012, 15:03 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, die Aufgabe heißt: Untersuchen Sie, ob der Flächeninhalt des Rechtecks ein Extremum annimmt, dass habe ich leider nicht dazu geschrieben. ------- Achso, stimmt, und dann finde ich S raus? ------ Ja, dass ist eine binomische Formel, das habe ich nicht gesehen. Ich habe t durch 2 ersetzt, sonst muss ich doch noch t suchen oder nicht? |
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| 09.09.2012, 15:16 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt, die Extremwertrechnung geht so nicht; da muss man sich nochmals den Text ansehen bzw. die Skizze, kommt später. _________________________ Ja, Der x-Wert, der da rauskommt, ist der vom Punkt S! Wie lautet er? _________________________ t ist NICHT durch 2 zu ersetzen, mit dem musst du einfach weiterrechnen (es ist so zu behandeln, wie jede andere Zahl). Du musst ja dann nur noch zeigen, dass die Schnittpunkte der Tangenten mit der Kurve auf der x-Achse liegen, da ist der x-Wert egal, auf den y-Wert kommt's nur an! |
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| 09.09.2012, 15:29 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auch nach nochmaliger Durchsicht der Angabe mit der Flächenberechnung ergeben sich keine neuen Aspekte. Der Extremwert ist deswegen nicht zu berechnen, weil die erste Ableitung niemals Null wird. Du könntest höchstens die Angabe nochmals dahingehend überprüfen! mY+ |
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| 09.09.2012, 16:09 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da hast du recht ich komme auf 0=-1 oder so, mein Mathelehrer meinte auch, dass es sein könnte, dass es keinen Wert für u gibt. Danke ---------- Ich kann es jetzt noch nicht berechnen, mache es aber später, also ich setzte einfach t1x+5/(x^2-1)= t2x+5/(x^2-1), und dann suche ich x, oder? ---------- Aber, wenn in der Aufgabenstellung steht, dass R auf der x-Achse liegt ist y=0? und dann mache ich die Ableitung von ft(x), welche -(tx^2+10x+t)/(x^2-1)^2 ist, und t(x)=[-(tx^2+10x+t)/(x^2-1)^2]-7, dass setzte ich gleich 0 und suche x raus, oder?? |
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| 09.09.2012, 17:03 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du das genau so machst, wirst du sofort zu deinem x kommen! ______________________ So, die Ableitung stimmt im Zähler, den Nenner hast du vergessen, darin setzt du jetzt das eben oben errechnete x ein, dann kriegst du eine ganz einfache Steigung (in t). Mit der wird dann die Tangente (durch (0; -5) erstellt und diese mit der Funktion ft geschnitten. Dabei ergibt sich wieder ein bestimmtes x, das nicht weiter interessiert, wohl aber, dass y nun Null ist. mY+ |
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| 09.09.2012, 17:57 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ist x=0? ----- Folglich ist die Steigung t/-1,hä? |
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| 09.09.2012, 18:29 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nix hä!!
Die Steigung ist -t, ja und auch x = 0, ja (hoffentlich hast du das auch ausgerechnet?)Wie geht's nun weiter mit dem Schnittpunkt Tangente - Kurve? |
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| 09.09.2012, 18:50 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich bin mir selbst nicht so sicher, wie es weiter geht. ich habe ja jetzt t(x)=-t*x-5 Ich würde das jetzt vll gleich null setzten um einen Schnittpunkt zu berechnen? |
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| 09.09.2012, 19:00 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, t(x) mit ft(x) gleichsetzen, nach x auflösen, nur die Lösung ungleich Null nehmen, dann daraus das y berechnen (muss 0 werden). mY+ |
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| 09.09.2012, 19:06 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt, dass hattest du schon angedeutet 
heißt das ich soll t*x-5=(tx+5)/x^2-1) gleichsetzten und dann, wie du gesagt hast nach x auflösen und dann berechne ich x und y ist doch eh null oder nicht? |
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| 09.09.2012, 19:11 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich habe da jetzt 0=t*x^3-5x^2-2t*x und als x Werte bekomme ich einmal x1=3,45 x2=-1,45 x3=0 habe ich was falsch gemacht?? |
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| 09.09.2012, 19:26 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da stimmt die Gleichung nicht, wahrscheinlich hast du falsch ausmultipliziert. Es sollte kommen: Die in Frage kommende (nach der Doppellösung x = 0 die zweite) Lösung für x MUSS von t abhängig sein (und nicht fest). mY+ |
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| 09.09.2012, 19:34 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
dann wäre ein weiterer schritt, die 5 zu reduzieren und das tx von der linken Seite auch, dann steht bei mir nur noch 0=tx^3-5x^2 ich hätte jetzt so weiter überlegt, dass dann 0=tx steht, wäre das korrekt? |
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| 09.09.2012, 19:37 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wäre dann R(tx/0)? |
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| 09.09.2012, 19:49 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das stimmt so nicht. Wo sind denn die 5 hingekommen? Und bei der Lösung für x kann doch nicht wieder ein x dabeistehen! Ausgehend von Edit: Schreibfehler, richtig ist wird ausgeklammert und der Klammerausdruck korrekt geschrieben. Durch Nullsetzen der einzelnen Faktoren bekommst du alle drei bzw. zwei Lösungen (eine ist eine Doppellösung). mY+ |
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| 09.09.2012, 20:20 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
aber muss da nicht 0=-tx^^3-5x^2 stehen, das hattest du vorhin so beschrieben, also -tx^3? Ausgeklammert wäre das 0=x^2*(tx-5) x1=0 und x2= 5 oder -5? Drei Lösungen? |
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| 09.09.2012, 21:24 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, da hast du Recht, ich hatte mich verschrieben. 0 ist die eine Lösung, es ist eine Doppellösung, deswegen gibt es drei. Also wie lautet nun die andere? Es ist also -tx - 5 = 0. Was ist dann x? Beachte, dass 5 allein nicht stimmt, da muss noch ein t dabei sein. Wenn das mal geschafft ist, geht's letztendlich noch an das y, dann ist es geschafft. mY+ |
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| 09.09.2012, 21:28 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
x2 wäre demnach -5/t, oder nicht? und mein letzter Schritt wäre dann, das y zu berechnen, aber warum muss ich das tun, geht es nicht darum zu beweisen, das R auf der x-Achse liegt? |
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| 09.09.2012, 21:30 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso? -tx - 5 = 0 -tx = 5 Was passiert jetzt? |
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| 09.09.2012, 21:31 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich dividiere mit (-t)-> 5/(-t)?? |
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| 09.09.2012, 21:36 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
.. durch -t dividierst du, ja, beim Ergebnis kannst du noch das Minus vorziehen, also x = -5/t |
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| 09.09.2012, 21:37 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, ups. okay, das wäre x2. Und wie zeige ich jetzt, dass R auch der x-Achse liegt? |
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| 09.09.2012, 21:44 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun, den x-Wert entweder in ft(x) oder in die Tangentengleichung t(x) einsetzen, beides muss ja gleich sei, denn diese Terme wurden ja gleichgesetzt. Beides geht gleich leicht. mY+ |
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| 09.09.2012, 22:01 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
bei x1, ist y =5 aber bei x2 ist mir das nicht so klar, schließlich steht dann t*(-5/t)-5=0 dann addiere ich 5 und weiter? und dann habe ich gezeigt, dass R auf der x-Achse liegt, reicht das? |
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| 09.09.2012, 22:14 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei x = 0 ist y - 5, das Minus hast vergessen! Brauchen wir aber nicht weiter. Bei x2 ist doch bereits alles klar, aber du hast wieder ein MINUS vergessen, -t*(-5/t) - 5 ist zu berechnen. Das ist jetzt 0. Für (fast) ALLE t. Das war zu zeigen. mY+ |
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| 10.09.2012, 17:57 | eleia94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen, vielen Dank. |
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