Reihe ab 1 oder ab 0

05.09.2012, 16:43

steviehawk

Reihe ab 1 oder ab 0

Meine Frage:
Hallo Leute,

kurz einer grundsätzliche Frage. Oft beginnen die Reihen, die man ja auf Konvergenzverhalten untersuchen kann bei n=0 manchmal aber auch bei n=1. Muss man da was beachten?? Wo sie beginnen?? oder ist das im Grunde egal?

Gilt den die Summenformel der geometrischen Reihe denn auch ab n=0??

Meine Ideen:
DAnke für die Hilfe??

05.09.2012, 16:53

system-agent

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Es kommt drauf an was du machen willst:
Willst du nur die Konvergenz untersuchen, ist es egal. Willst du den Wert der Reihe haben [bei Konvergenz], dann ist es nicht egal [sonst hättest du beim "summieren" den ersten Summanden weggelassen].

05.09.2012, 16:53

weisbrot

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RE: Reihe ab 1 oder ab 0
natürlich hat eine reihe, sofern sie konvergiert, unterschiedliche werte, je nachdem ob man den 0. summanden dazunimmt oder nicht. auf das konvergenzverhalten (also ob konvergent oder divergent) hat ein einzelner (endlicher) summand natürlich keinen einfluss - das alles unter der annhme, dass für eine reihe $\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$ der 0. summand $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Zitat:

Gilt den die Summenformel der geometrischen Reihe denn auch ab n=0??

es gibt jeweils eine andere summenformel. lg

05.09.2012, 18:14

steviehawk

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RE: Reihe ab 1 oder ab 0
Vielen Dank!

Wie sieht denn die andere Summenformel aus??

Ich kenne:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^n q^k = \lim_{n \to \infty } \frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

bzw. wobei natürlich auch die Form:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^n q^k = \lim_{n \to \infty } \frac{q^{n+1}-1}{q-1} = \frac{-1}{q-1} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

was gibt es für.. die Reihe wenn sie ab 1 beginnt??

05.09.2012, 18:25

weisbrot

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RE: Reihe ab 1 oder ab 0
also deine reihe beginnt schon ab 1 - aber ich denke mal das ist nur ein tippfehler. du kannst doch selbst ganz einfach nachrechnen, es gibt nur einen summanden weniger: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n q^k = \sum_{k=0}^n q^k - 1 = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} - 1 = \frac{q-q^{n+1}}{1-q} \overset{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac q{1-q}\quad \text{für}\quad |q|<1 \end{eqnarray*}$ . lg

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