Stetigkeit

02.02.2007, 11:34

lippo

Stetigkeit

Also ... ich habe ein großes Problem bezüglich der Stetigkeit, habe mich inzwischen durch diverse Webseiten, Foren und Scripte gewühlt und es will sich mir einfach kein Verständnis für die ganze Sache ergeben.

Was eine stetige Funktion ist und zwar, dass es sich hierbei um eine Funktion handelt die in einfach in jedem Punkt stetig ist, ist noch gut zu verarbeiten.

Wenn ich nun jedoch eine Funktion vorgelegt kriege, egal welcher Natur, dann müsste sich doch prüfen lassen, ob die Funktion nun stetig ist oder nicht. Hierfür gibt es scheinbar zwei Verfahren, einmal über die Konvergenz von Folgen der Funktion oder über das Epsilon-Delta-Kriterium. Bei beiden kommt es mir jedoch so vor, als ob man bereits vorher wissen muss, dass die Funktion stetig ist oder nicht.

Letzten Endes schienen mir die Beispiele online alle nicht schlüssig und nun bitte ich darum entweder einen Link zu einem Step-by-Step-Tutorial zu bekommen oder dass sich jemand erbarmt mir das Prinzip von der Stetigkeitsprüfung etwas näher zu bringen.

02.02.2007, 12:00

klarsoweit

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RE: Stetigkeit

Zitat:

Original von lippo
Hierfür gibt es scheinbar zwei Verfahren, einmal über die Konvergenz von Folgen der Funktion oder über das Epsilon-Delta-Kriterium.

Soweit richtig. Ein drittes Verfahren wäre zu zeigen daß die Funktion differenzierbar ist. Darüberhinaus gibt es noch diverse Sätze, die einem verraten, wann bzw. welche Funktionen stetig sind.

Zitat:

Original von lippo
Bei beiden kommt es mir jedoch so vor, als ob man bereits vorher wissen muss, dass die Funktion stetig ist oder nicht.

In gewisser Weise ja. Aber was wäre daran so schlimm? Man äußerst eine Vermutung und dann beweist man diese. Im übrigen sind ja auch viele Funktionen, die man so kennt (Polynome, trig. Funktionen, Exponentialfunktionen), ja auch stetig.

02.02.2007, 13:24

lippo

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soweit so gut ... mit Differenzierbarkeit haben wir noch nichts gemacht, aber eben die beiden von mir erwähnten.

Schlimm ist es nicht, dass man eine Vermutung haben muss, es wäre mir jedoch lieber wenn man eine Funktion vor sich hat und dann "ausrechnen" kann, ob sie nun stetig ist oder nicht.

Insofern würde ich mir die zu untersuchende Funktion also erst einmal anschauen. Wie du bereits sagtest sind die meisten Funktionen die man kennt stetig, nehmen wir zB f(x) = x² diese ist ja eindeutig stetig. Um dies zu beweisen muss ich beweisen, dass jeder Punkt auf f stetig ist und ein Punkt ist stetig, wenn man sich über die Funktion von rechts und von links an ihn annähern kann.

Wobei wir nun beim eigentlichen Problem wären, ich müsste also eine Annäherung zeigen für jeden Punkt, wie soll ich das jedoch für mich und auch für meinen Prof verständlich niederschreiben?

02.02.2007, 13:44

SilverBullet

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Hey Lippo,

wir untersuchen die Funktion auf Stetigkeit im allgemeinen Punkt a.

Keine Ahnung wie ich unter den lim noch was drunter bekomm aber hier gilt :

Für x > a :
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} x^2 = \lim_{x \to a} a^2 = a^2 \end{eqnarray*}$

Wir haben also einen Wert für den Rechtsseitigen Grenzwert.

Für x < a :
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} x^2 = \lim_{x \to a} a^2 = a^2 \end{eqnarray*}$

Und für unseren Linksseitigen Grenzwert sehen wir, dass beide Grenzwerte übereinstimmen. Nach Definition ist unsere Funktion also in jedem Punkt a Stetig.

Hoffe ich hab das so richtig gemacht ?

Edit : hatte falsche Funktion genommen Big Laugh

Korrigiert

02.02.2007, 13:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von SilverBullet
Für x > a :
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} x^2 = \lim_{x \to a} a^2 = a^2 \end{eqnarray*}$

Zum einen kannst du dir den Schritt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} a^2 \end{eqnarray*}$ sparen (ich würde ihn sogar als falsch ansehen), da du da den Grenzübergang x -> a schon vollzogen hast.
Zum zweiten kann man sich auch die Unterscheidung x > a und x < a sparen.
Zum dritten wollten wir die Stetigkeit der Funktion mit der Definition über Folgen zeigen.

Und das geht so:
Sei (x_n) eine beliebige Folge mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~x_n = a \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen ist dann, daß $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~f(x_n) = f(a) = a^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Das wiederum ist relativ simpel.

EDIT:

Zitat:

Original von lippo
Wie du bereits sagtest sind die meisten Funktionen die man kennt stetig, nehmen wir zB f(x) = x² diese ist ja eindeutig stetig. Um dies zu beweisen muss ich beweisen, dass jeder Punkt auf f stetig ist und ein Punkt ist stetig, wenn man sich über die Funktion von rechts und von links an ihn annähern kann.

Ein Problem liegt erstmal in der Sprache. Zunächst ist nicht ein "Punkt stetig", sondern die Funktion f ist in einem Punkt stetig. Dann ist die Überlegung, sich von links bzw. rechts an diesen Punkt anzunähern, eine Variante, die aus der Folgenstetigkeit für eindimensionale Funktionen folgt. Das kann man so machen, muß man aber nicht, wie das Beispiel oben zeigt. Und bei mehrdimensionalen Funktionen kann man damit sowieso nicht mehr arbeiten.

02.02.2007, 13:57

SilverBullet

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Hab nur das hier gelesen

Zitat:

Um dies zu beweisen muss ich beweisen, dass jeder Punkt auf f stetig ist und ein Punkt ist stetig, wenn man sich über die Funktion von rechts und von links an ihn annähern kann.

Naja aber hauptsache es war nicht allzusehr falsch was ich da hatte Big Laugh

Edit: Hatte es natürlich mit der Unterscheidung gemacht damit man ein allgemeineres Beispiel hat auch wenn es hier eigentlich nicht nötig wäre.

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