Berechnen einer Normalen

05.09.2012, 20:03

klein

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Berechnen einer Normalen

Meine Frage:
Hallo an alle
mein Problem ist folgende Aufgabe

Durch $\begin{eqnarray*} f_a(x)=-\frac{1}{2_a ^{4} } x^{4} +\frac{1}{a} x^{3} \end{eqnarray*}$ ist eine Funktionschar gegeben. Die zugehörigen Parabeln seien $\begin{eqnarray*} K_a \end{eqnarray*}$

Die Normale von $\begin{eqnarray*} K_a \end{eqnarray*}$ im (von O verschiedenen) Wendepunkt W schneidet die x-achse in P.
Berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks OPW. Für welches a beträgt A13 FE?

Meine Ideen:
Also was habe ich alles herausgefunden:
die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen liegen bei: y(0I0) und y(2aI0)
Wendepunkte: (a I $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}a^3 \end{eqnarray*}$ )
beim Tiefpunkt ist keine Aussage möglich
hochpunkt: ( $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}a \end{eqnarray*}$ I $\begin{eqnarray*} \frac{27}{32}a^2 \end{eqnarray*}$ )

Weiter weiß ich nicht wie ich arbeiten soll

05.09.2012, 20:12

Dopap

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RE: berechnen einer Normale

Zitat:

Original von klein
Wendepunkte: (a I $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}a^3 \end{eqnarray*}$ )

also: $\begin{eqnarray*} W(a,\frac {1}{2}a^3) \end{eqnarray*}$ , so sieht es besser aus.

Nun, du hast den Punkt, jetzt fehlt noch die Steigung der Normalen in W.

Wie verhält sich die Steigung $\begin{eqnarray*} m_N \end{eqnarray*}$ zu der Steigung $\begin{eqnarray*} m_T \end{eqnarray*}$ der Tangenten in einem Kurvenpunkt?

------edit-----------------------------

deine Angaben habe ich noch nicht überprüft -----> siehe Bjoern1982

05.09.2012, 20:13

Bjoern1982

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Man kann deine Funktionsschar nicht richtig erkennen.
Irgendwas scheint dann auch nicht mit den Punkten zu stimmen, denn wenn der Wendepunkt in x=a liegt, dann kommt als y-Koordinate ja nie nur was mit a³ raus, da wegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}x^3 \end{eqnarray*}$ ja schonmal was mit a² entstehen würde...

05.09.2012, 20:33

klein

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mein Fehler beim Wendepunkt

05.09.2012, 20:36

klein

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kommt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} a^2 \end{eqnarray*}$

05.09.2012, 20:47

klein

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Es tut mir leid für die umstände aber ich habe noch einen Tippfehler in der Funktion oben gefunden Hammer

Hammer

und zwar kommt vorne diese zahl hin

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05.09.2012, 20:48

klein

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$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2 a^2} a^4 \end{eqnarray*}$

05.09.2012, 20:55

Dopap

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RE: Berechnen einer Normale

Zitat:

Original von klein

Durch $\begin{eqnarray*} f_a(x)=-\frac{1}{2_a ^{4} } x^{4} +\frac{1}{a} x^{3} \end{eqnarray*}$ ist eine Funktionschar gegeben. Die zugehörigen Parabeln seien $\begin{eqnarray*} K_a \end{eqnarray*}$

bitte keine Fragmente posten!

ist nun $\begin{eqnarray*} f_a(x)=-\frac{1}{2a ^{2} } x^{4} +\frac{1}{a} x^{3} \end{eqnarray*}$ richtig ?

05.09.2012, 21:54

klein

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RE: Berechnen einer Normale

Zitat:

Original von Dopap

ist nun $\begin{eqnarray*} f_a(x)=-\frac{1}{2a ^{2} } x^{4} +\frac{1}{a} x^{3} \end{eqnarray*}$ richtig ?

Ja diese Funktion ist jetzt richtig

05.09.2012, 22:29

Dopap

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dann müsste der "richtige" Wendepunkt $\begin{eqnarray*} W(1,\frac 1 {2a}) \end{eqnarray*}$ sein.

Also wie gehabt: wie gross ist die Steigung der Normalen in W ?

06.09.2012, 00:39

opi

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Ich empfehle als "richtigen" Wendepunkt $\begin{eqnarray*} W\left( a , \frac 1 2 a^2 \right) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2012, 00:54

Dopap

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RE: Berechnen einer Normale
sorry, hatte selbst mit $\begin{eqnarray*} f_a(x)=-\frac{1}{2a } x^{4} +\frac{1}{a} x^{3} \end{eqnarray*}$
gerechnet - unglücklich

unglücklich

06.09.2012, 14:51

klein

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jetzt muss man doch die Normale durch W bestimmen oder?

$\begin{eqnarray*} f'(a)= -\frac{2}{a^2} a^3+\frac{3}{a} a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(a)= -2a+3a=a \end{eqnarray*}$
wir haben dann die Steigung für die Tangente

$\begin{eqnarray*} m_{N} = -\frac{1}{f'(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_{N} = -\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$
und hier ist das Ergebnis die Steigung der Normale

Stimmt das??
oder ist das falsch ???

06.09.2012, 15:07

opi

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Die Steigung der Normalen kann ich bestätigen, nun kannst Du die Normalengleichung aufstellen. Einen Punkt der Geraden kennst Du ja.

06.09.2012, 15:39

klein

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also:
$\begin{eqnarray*} n:y=mx+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} a^2 = -\frac{1}{a} +b \end{eqnarray*}$
dann rechne ich + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} a^2 + \frac{1}{a} = b \end{eqnarray*}$

06.09.2012, 16:23

klein

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$\begin{eqnarray*} b= \frac{1a^3+2}{2a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n:y=-\frac{1}{a}x + \frac{1a^3+2}{2a} \end{eqnarray*}$

wenn ich P ausrechne muss ich doch den Schnittpunkt von n mit der x-Achse y=0 rechnen oder???

und könntet ihr bitte kontrollieren ob die letzte Rechnung richtig ist ich bin mir nicht sicher ob die richtig ist unglücklich

unglücklich

06.09.2012, 19:32

opi

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} n:y=m{\color{red}x}+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} a^2 = -\frac{1}{a} {\color{red}\cdot a}+b \end{eqnarray*}$

Du hast leider vergessen, für x ein a einzusetzen.

Bei Deiner erneuten Rechnung sollte $\begin{eqnarray*} b=\frac{1}{2} a^2 +1 \end{eqnarray*}$ herauskommen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dein Vorgehen für den Punkt P ist richtig: Du mußt die Normalengleichung gleich Null setzen.

06.09.2012, 19:55

klein

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geschockt

und ich frage mich schon warum ich nicht weiter komme dankeschön

kann man b auch so schreiben

$\begin{eqnarray*} b= \frac{2+1 a^2}{2} \end{eqnarray*}$

06.09.2012, 20:14

opi

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Wenn man unbedingt will, dann kann man das. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2012, 20:23

klein

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also für P habe ich jetzt
$\begin{eqnarray*} P(\frac{1a^3}{2} +2 , 0) \end{eqnarray*}$

kann mir auch noch jemand erklären was mit den OPW und FE in der aufgabenstellung gemeint ist verwirrt

verwirrt

?
Ich weiß ich stelle viele Fragen und ich bedanke mich schon in voraus für antworten

06.09.2012, 20:35

opi

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P mußt Du noch einmal nachrechnen, da hast Du anscheinend falsch ausmultipliziert/gekürzt. Du kannst auch Deinen Rechenweg aufschreiben.

Zitat:

Zitat aus der Aufgabe:
Berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks OPW

Das ist das Dreieck, welches durch die Punkte O, P und W gebildet wird.
FE ist die Abkürzung für Flächeneinheiten.

06.09.2012, 20:56

klein

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also das ist meine Ausgangsformel
$\begin{eqnarray*} 0= -\frac{1}{a} x+ \frac{1}{2} a^2+1 \end{eqnarray*}$

dann rechne ich $\begin{eqnarray*} +\frac{1}{a} x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} x= \frac{1}{2} a^2+1 \end{eqnarray*}$

dann $\begin{eqnarray*} :\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= \frac{1a^3}{2} + \frac{a}{1} \end{eqnarray*}$

ich weiß nur nicht wo der Fehler ist?

06.09.2012, 21:02

opi

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Zitat:

Original von klein
also für P habe ich jetzt
$\begin{eqnarray*} P(\frac{1a^3}{2} +{\color{red}2} , 0) \end{eqnarray*}$

Dann hast Du den Punkt nur verkehrt aufgeschrieben. Die 2 durch ein a ersetzen, schon passt es.

06.09.2012, 21:19

klein

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geschockt

jetzt seh ich den Fehler auch

aber wie berechne ich jetzt die Fläche?

Zitat:

Berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks OPW. Für welches a beträgt A13 FE?

muss ich jetzt mit der Integralrechnung weiter machen oder mit der Flächenformel
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2} a*b \end{eqnarray*}$

06.09.2012, 21:31

opi

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Mit der Flächenformel. (Integralrechnung müßte zum selben Ergebnis führen.)
$\begin{eqnarray*} A=\frac 1 2 g\cdot h_g \end{eqnarray*}$
Ich habe die Seiten umbenannt, da der Parameter a bereits "verbraucht" ist.

Als Grundseite bietet sich ein Abschnitt auf der x-Achse an. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2012, 22:05

klein

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also nehme ich P für die grundseite
und für die höhe den y-wert von W

Zitat:

$\begin{eqnarray*} W\left( a , \frac 1 2 a^2 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A= \frac{1}{2}*(\frac{1a^3}{2}+a)*\frac{1}{2}a^2 \end{eqnarray*}$

06.09.2012, 22:14

klein

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$\begin{eqnarray*} A=\frac{1a^3}{4}+\frac{1a}{2}*\frac{1}{2}a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A= \frac{1a^3}{4}+\frac{1a^3}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\frac{2a^3}{4} \end{eqnarray*}$

wäre das so richtig?

06.09.2012, 22:18

opi

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Das ist richtig, man kann es aber noch etwas zusammenfassen.
Für A kannst Du nun 13 einsetzen und nach a auflösen. Das geht allerdings nur mit einem Näherungsverfahren oder einem geeigneten Taschenrechner.

Bevor ich es vergesse: Gibt es in der Aufgabenstellung eine Einschränkung für den Parameter a, z.B. a>0 ?

-----
Nach Deinem neuen Beitrag: Das ist falsch, Du hast die Klammer nicht richtig ausmultipliziert.

06.09.2012, 22:28

klein

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also in der Aufgabenstellung steht noch $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R^{+} \end{eqnarray*}$

06.09.2012, 22:32

opi

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Gut, dann gibt es auch keine zweite Lösung.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A= \frac{1}{2}*(\frac{1a^3}{2}+a)*\frac{1}{2}a^2 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung hatte ich bestätigt, also weitermachen.

06.09.2012, 22:44

klein

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$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{4}a (\frac{1a^3}{2} +a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A= \frac{1a^4}{8} +\frac{a^2}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A= \frac{4a^4+8a^2}{32} \end{eqnarray*}$

???

06.09.2012, 22:49

opi

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Was machst Du denn da? verwirrt

verwirrt

Da war doch vorher ein Quadrat außerhalb der Klammer.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A= \frac{1}{2}*(\frac{1a^3}{2}+a)*\frac{1}{2}a^{\color{red}2} \end{eqnarray*}$

06.09.2012, 22:57

klein

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ich muss doch erst $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * \frac{1}{2} a^2 \end{eqnarray*}$ rechen und dann ausmultiplizieren

06.09.2012, 23:05

opi

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Aha! Im Edit hast Du den Fehler selbst gesehen.

06.09.2012, 23:13

klein

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}a^2(\frac{1a^3}{2} +a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1a^5}{8}+\frac{1a^3}{4} \end{eqnarray*}$

ich bedanke mich für deine Geduld die du für mich hast
ich glaube brüche sind nicht meine stärke
kannst du mir verraten wo ich denn fehler immer mache?

06.09.2012, 23:20

opi

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Uff!

smile

$\begin{eqnarray*} A=\frac{a^5}{8}+\frac{a^3}{4} \end{eqnarray*}$ ist richtig und beantwortet die Frage nach dem Flächeninhalt des Dreiecks OPW.

Für die nächste Frage kannst Du nun für A= 13 einsetzen und nach a auflösen. (Näherung, Rechner etc.)

Edit zu Deinem Edit:
Die Fehlerquelle scheint mir nicht im Bereich der Bruchrechnung zu liegen, sondern ist eher im Bereich Schreib- Abschreib- Tipp- und Hinschaufehler zu suchen.
Also: Lehrer

Lehrer

Bitte etwas mehr Konzentration!

06.09.2012, 23:27

klein

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wie funktioniert das mit den Näherungsverfahren den ,mein Taschenrechner macht da nicht mehr mit

zum edit ich werde es versuchen Big Laugh

Big Laugh

06.09.2012, 23:36

opi

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Zu Deinem TR kann ich natürlich nichts sagen.
Ein Näherungsverfahren ist das Newton-Verfahren, dabei ist allerdings die Anwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms (z.B. Excel) zu empfehlen.
Zu diesem Thema müßtet ihr aber in der Schule bereits etwas besprochen haben, das würde den Rahmen hier in diesem Thread sprengen.

06.09.2012, 23:40

klein

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okayden rest schaff ich dann in der schule auch irgendwie ^^
ich bedanke mich nochmal herzlich für deine hilfe Big Laugh

Big Laugh

und geduld
vielen Dank smile

smile

06.09.2012, 23:48

opi

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Gern geschehen! Wink

Wink

Zur Lösung Deiner Gleichung mit einem Näherungsverfahren oder Deinem TR (Modell angeben!) kannst Du natürlich auch ein neues Thema eröffnen. Hier würde es zu unübersichtlich und ich bin da leider auch nicht der richtige Fachmann für.

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