Fourierreihe

05.09.2012, 21:40

Goofy1

Auf diesen Beitrag antworten »

Fourierreihe

Meine Frage:
Hallo leute ich habe gerade probleme bei einer Fourierreihe aufgabe:

Es sei f : R!R gegeben durch die 2-periodische Fortsetzung der Funktion g : [-pi,pi]pfeil R mit

g(x) = 2 für |x| <= pi/2

1 für pi/2 < |x| <= pi

(a) Skizziere die Funktion f auf dem Intervall [-2pi, 2pi] und bestimme die Fourierreihe von f .
(b) Für welche x element R konvergiert die Fourierreihe von f und was ist die Grenzfunktion?
(c) Berechne mit Hilfe der Fourierreihe von f den Wert der Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{(4k+3)*(4k+1)} \end{eqnarray*}$

Meine erste frage ist nach der ich die funktion skizziert hab die Funktion ist doch gerade oder?

Meine Ideen:
gepostet

05.09.2012, 22:11

Goofy1

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab das an mittlerweile berechnet , bekomme das hier raus:

an = $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi *n}*sin(\frac{n*\pi }{2} ) \end{eqnarray*}$

Aber wie gehe ich jetzt weiter vor?

06.09.2012, 09:26

Tremonia

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Goofy1
Hab das an mittlerweile berechnet , bekomme das hier raus:

an = $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi *n}*sin(\frac{n*\pi }{2} ) \end{eqnarray*}$

Aber wie gehe ich jetzt weiter vor?

Du musst hier erst mal ne Fallunterscheidung machen. Für welche $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{n*\pi }{2} ) \end{eqnarray*}$ =1 und für welche = -1 ?

06.09.2012, 11:31

Goofy1

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir erklären wie das genau mit der Fallunterscheidung funktioniert.
Hab dabei nämlich probleme.

06.09.2012, 11:39

Tremonia

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Goofy1
Kannst du mir erklären wie das genau mit der Fallunterscheidung funktioniert.
Hab dabei nämlich probleme.

Zeichne dir die Sinusfunktion einmal auf und schau bei welchen vielfachen von pi/2 der Sinus 1 ist und bei welchen er -1 ist. Sin(pi/2) = 1; sin(-pi/2) = -1; Jetzt brauchst du eigentlich nur beachten das der Sinus periodisch mit 2*pi ist.

06.09.2012, 11:54

Goofy1

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann würde doch für n gerade 1 und für n ungerade -1 rauskommen oder?

Anzeige

06.09.2012, 12:56

Tremonia

Auf diesen Beitrag antworten »

Also,durch Zeichnung ermittelt: sin(n*pi/2) = 1 für n = 1; -3; 5; -7; 9; -11;... sin(n*pi/2) = 0 für n = 0; +-2; +-4;... sin(n*pi/2) = -1 für n = -1; 3; -5; 7; -9;11

06.09.2012, 13:22

Goofy1

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir ein wenig genauer erklären was du meinst .

Das verstehe ich irgendwie nicht so genau.

06.09.2012, 14:09

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Schau mal:

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{array}{c | c}<br /> n & \sin (n \cdot \frac {\pi} 2)<br /> \hline 0 & 0<br /> \hline 1 & 1<br /> \hline 2 & 0<br /> \hline 3 & -1<br /> \hline 4 & 0 <br /> \hline 5 & 1<br /> \hline ... & ...<br /> \hline<br /> \end{array}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

06.09.2012, 14:30

Tremonia

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh sorry ich war gedanklich bei den komplexen Koeff. Natürlich nur die n > 0. Siehe Steffen Bühler

06.09.2012, 15:11

Goofy1

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber was kann ich jetzt genau für ungerade und gerade Zahlen sagen?

Welche funktion bleibt genau übrig?

06.09.2012, 15:41

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich helf nochmal kurz aus:

Die Fourierreihe, die Du bestimmen sollst, ist ja nun bekannt:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x) = 1,5 + \frac{2}{\pi} \cdot (\frac {\cos x} 1 - \frac {\cos 3x} 3 + \frac {\cos 5x} 5 - ...)<br /> \end{eqnarray*}$

Also alternierende ungerade Cosinusglieder: +1;-3;+5;-7;...

Um diese Folge mathematisch in eine Formel zu packen, nimmt man erstmal den Term $\begin{eqnarray*} 2n-1 \end{eqnarray*}$ , der nur ungerade Zahlen liefert. Für die Alternation multipliziert man den Term $\begin{eqnarray*} (-1)^{n-1} \end{eqnarray*}$ dazu. Das kannst Du dann in eine Summenformel packen, falls das gefordert sein sollte.

Viele Grüße
Steffen

06.09.2012, 15:57

Goofy1

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst es bestimmt so oder?

Für ungerade:

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(2n+1)*\pi }{2} \end{eqnarray*}$

06.09.2012, 16:41

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Goofy1
$\begin{eqnarray*} \frac{sin(2n+1)*\pi }{2} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, was dieser Term bedeuten soll.

Wie auch immer, f(x) hast Du ja bestimmt, ich wollte Dir nur zeigen, wie Du's als unendliche Summe schreiben kannst, falls das verlangt ist.

Viele Grüße
Steffen

08.09.2012, 22:46

Goofy1

Auf diesen Beitrag antworten »

Das problem iist das in meiner Müsterlösung steht , das für n= 1,5,9

2/pi*n rauskommt

für n= 3,7,11

= - 2/pi*n

Kann mir jemand erklären wie die auf diese ergebnisse kommen?

09.09.2012, 18:57

Tremonia

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Goofy1
Das problem iist das in meiner Müsterlösung steht , das für n= 1,5,9

2/pi*n rauskommt

für n= 3,7,11

= - 2/pi*n

Kann mir jemand erklären wie die auf diese ergebnisse kommen?

Es kommt für n = 1,5,9,... 1 raus und für n = 3,7,11,... -1. Wie Steffen Bühler bereits schrieb. Nochmal: Zeichnen hilft! Dann siehst du das es so ist.

11.09.2012, 09:40

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch genau Deine Lösung vom 5.9. um 22:11:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi *n}*sin(\frac{n*\pi }{2} ) \end{eqnarray*}$

Lass halt mal n nach oben laufen, dann siehst Du's.

Viele Grüße
Steffen

11.09.2012, 10:34

Goofy1

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber warum fällt genau der sinus weg?

11.09.2012, 11:00

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Der reinmultiplizierte Sinusterm $\begin{eqnarray*} \sin \frac{n \cdot \pi}2 \end{eqnarray*}$ fällt nicht einfach weg. Je nach n ist er

1 (dann kannst Du ihn natürlich wirklich weglassen)
-1 (dann kannst Du ihn auch weglassen und es kommt ein Minuszeichen vor den Rest)
0 (dann fällt alles weg)

EDIT: Und mehr Werte nimmt er nicht an!

Viele Grüße
Steffen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »