Linearisierung eines Differentialgleichungssystems

05.09.2012, 22:13	Shrike	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearisierung eines Differentialgleichungssystems Meine Frage: Heyho, ich bin grade am lernen für Grundlagen der Automatisierung und habe Probleme mit der Linearisierung einer DGL . Die Aufgabe: Linearisieren Sie folgende Funktion um den bekannten Arbeitspunkt x0: $\begin{eqnarray} \dot x = x(a + be^{\frac{-1}{x}}) + ce^{\frac{-1}{x}} +d \end{eqnarray}$ Bei a,b,c und d handelt es sich um Konstanten. Meine Ideen: Meine Idee: Aus meinem Script konnte ich entnehmen, dass man als Arbeitspunkt (scheinbar) den Ruhepunkt nimmt. In diesem sind alle Ableitungen = 0. Also: $\begin{eqnarray} \dot x0 = 0 \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} x0(a + be^{\frac{-1}{x0}}) + ce^{\frac{-1}{x0}} +d = 0 \end{eqnarray}$ Außerdem muss man, soweit ich das verstehe alle x durch $\begin{eqnarray} x0 + \bigtriangleup x0(t) \end{eqnarray}$ ersetzen. Das x0 ist ja der Arbeitspunkt und das $\begin{eqnarray} \bigtriangleup x0(t) \end{eqnarray}$ ist die Abweichung. Nun habe ich also stehen: $\begin{eqnarray} \dot x0 + \bigtriangleup \dot x0(t) = (x0 + \bigtriangleup x0(t))(a + be^{\frac{-1}{x0 + \bigtriangleup x0(t)}}) + ce^{\frac{-1}{x0 + \bigtriangleup x0(t)}} +d \end{eqnarray}$ Aus dem was ich oben geschrieben habe mit der Ableitung = 0 folgt: $\begin{eqnarray} \bigtriangleup \dot x0(t) = (x0 + \bigtriangleup x0(t))(a + be^{\frac{-1}{x0 + \bigtriangleup x0(t)}}) + ce^{\frac{-1}{x0 + \bigtriangleup x0(t)}} +d \end{eqnarray}$ So .. und das ist die Stelle an der ich hänge .. Ich habe versucht es so umzustellen, dass ich $\begin{eqnarray} x0(a + be^{\frac{-1}{x0}}) + ce^{\frac{-1}{x0}} +d = 0 \end{eqnarray}$ auch noch rausnehmen kann, aber irgendwie komm ich bei den $\begin{eqnarray} e^{\frac{-1}{x0 + \bigtriangleup x0(t)}} \end{eqnarray}$ nicht weiter
06.09.2012, 09:58	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast eine nichtlineare Dgl. gegeben. Da es dafür nur in Ausnahmefällen allgemeine Lösungsverfahren gibt, versucht man die nichtlinearen Terme zu beseitigen. $\begin{eqnarray} \dot x=a\cdot x+\underbrace{b\cdot xe^{-\frac{1}{x}}+c\cdot e^{-\frac{1}{x}}}_{\text{nichtlineare Terme}}+d \end{eqnarray}$ Dazu entwickelt man die nichtlinearen Terme in einer Taylorreihe bis zur 1.Ordnung gemäß $\begin{eqnarray} f(x_0+x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot x+... \end{eqnarray}$ In deiner Dgl. sind 2 nichtlineare Terme zu entwickeln $\begin{eqnarray} e^{-\tfrac{1}{x_0+x}}=\underbrace{e^{-\tfrac{1}{x_0}}}_{\text{Konstante A}}+\underbrace{\tfrac{1}{x_0^2}\cdot e^{-\tfrac{1}{x_0}}}_{\text{Konstante B}}\cdot x+... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} xe^{-\tfrac{1}{x_0+x}}=\underbrace{x_0e^{-\tfrac{1}{x_0}}}_{\text{Konstante C}}+\underbrace{\left ( 1+\tfrac{1}{x_0}\right ) e^{-\tfrac{1}{x_0}}}_{\text{Konstante D}}\cdot x+... \end{eqnarray}$ Einsetzen in die obige Dgl. liefert $\begin{eqnarray} \dot x=ax+b(C+Dx)+c(A+Bx)+d \end{eqnarray}$ Zusammenfassen liefert eine einfache lineare Dgl. $\begin{eqnarray} \dot x=\underbrace{(a+bD+cB)}_{\text{konstant}}\cdot x+\underbrace{bc+cA+d}_{\text{konstant}} \end{eqnarray}$ Aufgrund der obigen Taylorentwicklung muss x "klein" sein. Für große x ist diese Näherung zu grob.
06.09.2012, 12:48	Shrike	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen dank! Das konnte ich soweit schon ganz gut nachvollziehen.. Dennoch bleiben bei mir Fragen offen.. 1. Warum nur bis zum Taylorpolynom erster Ordnung ? Ist das immer so? Wovon hängt das ab? 2. Müsste das Taylorpolynom nicht so aussehen? $\begin{eqnarray} e^{-\tfrac{1}{x_0+x}}=\underbrace{e^{-\tfrac{1}{x_0}}}_{\text{Konstante A}}+\underbrace{\tfrac{1}{x_0^2}\cdot e^{-\tfrac{1}{x_0}}}_{\text{Konstante B}}\cdot ( x - x_0 )+... \end{eqnarray}$ Bzw. Warum kann man hier das x0 am ende des 2ten Taylor-Abschnitts vernachlässigen ?
06.09.2012, 13:53	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
------------------------- Frage 1: Warum entwickelt man nur bis zur 1.Ordnung? Antwort 2: Das ist ja gerade der Witz der Sache. Wenn man bis zu höheren Ordnungen entwickeln würde, würden Potenzen x², x³... auftreten, womit die Linearität der Dgl. wieder zerstört würde. ------------------------- Frage 2: Müsste das Taylorpolynom nicht anders aussehen? Antwort 2: Die Taylorentwicklung schrieb ich allgemein als $\begin{eqnarray} f(x_0+x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot x \end{eqnarray}$ . Dabei bezeichne ich mit x die kleine Abweichung vom Arbeitspunkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ . Die Verwirrung kommt daher, dass du die kleine Abweichung mit $\begin{eqnarray} \Delta x \end{eqnarray}$ bezeichnest. Dann lautet die Taylorentwicklung $\begin{eqnarray} f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot \Delta x \end{eqnarray}$ . Ersetze also in meinen Taylorentwicklungen $\begin{eqnarray} x \rightarrow \Delta x \end{eqnarray}$ . Auf der linken Seite deiner Dgl. muss man dann die Ableitung $\begin{eqnarray} \tfrac{dx}{dt} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \tfrac{d}{dt} (x_0+\Delta x)=\tfrac{d\Delta x}{dt} \end{eqnarray}$ ersetzen. So bekommst du am Ende eine lineare Dgl. für die "kleine" Abweichung $\begin{eqnarray} \Delta x \end{eqnarray}$ .
06.09.2012, 15:25	Shrike	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe .. Super ! Damit komm ich denke ich ein großes stück weiter Vielen Dank, wenn ich noch fragen habe werd ich mich melden

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