Frage zu 2-Dimensionaler Normalverteilung (stochastische Unabhängigkeit)

06.09.2012, 09:43	dj_mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu 2-Dimensionaler Normalverteilung (stochastische Unabhängigkeit) Hallo! Ich hatte letztens eine Klausur geschrieben und bin jetzt leider durchgefallen. Morgen ist die Einsicht, deswegen wäre es super, wenn mir jemand bei folgender Frage helfen könnte: Ich habe einen 2-dimensional verteilten Zufallsvektor $\begin{eqnarray} \vec{X} = \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ der durch folgende Dichte beschrieben wird: $\begin{eqnarray} f_X(x_1,x_2)=\frac{1}{\pi \sqrt{3} } \cdot e^{-\frac{2}{3}\left(x_1^2-x_{1}x_{2}+x_2^2\right) } \end{eqnarray}$ Jetzt gab es folgende Fragen: Berechnen der Kovarianzmatrix C und des Erwartungswertvektors $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ von X (C invertierbar und det(C)>0) Berechnung der Dichten $\begin{eqnarray} f_{X_1}(x_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_{X_2}(x_2) \end{eqnarray}$ Test ob $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ stochastisch unabhängig sind Ich hab dann erstmal die gegebene Dichte mit der n-Dimensionalen Normalverteilung gleich gesetzt und für n=2 den Faktor vor der E-Funktion und den Exponenten verglichen. Ich hab dann gesagt dass die Kovarianzmatrix C so aussieht: $\begin{eqnarray} C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{12} & c_{21}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} c_{12}=c_{21} \end{eqnarray}$ da Normalverteilung vorliegt. Aus Zeitnot hab ich dann aber nur noch $\begin{eqnarray} c_{11} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c_{22} \end{eqnarray}$ ausrechnen können. Ich hab dann bei 2) gesagt, dass die Dichten jeweils die 1-dimensionalen Dichten mit ~ $\begin{eqnarray} N_i(\mu_i, \sigma^2_i) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \mu_1 \end{eqnarray}$ das erste Element im Erwartungswertvektor ist, und $\begin{eqnarray} \sigma_1^2=c_{11} \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ analog. Und jetzt kommt die Frage zu 3). Kann ich da sagen, dass falls gilt: $\begin{eqnarray} f_{X_1}(x_1)\cdot f_{X_2}(x_2)=f_X(x_1,x_2) \Rightarrow X_1, X_2~s.u. \end{eqnarray}$ für das oben angegebene $\begin{eqnarray} f_X(x_1,x_2) \end{eqnarray}$ ? Oder ist allein dies richtig: $\begin{eqnarray} Corr(X_1,X_2)=\frac{Cov(X_1,X_2)}{\sqrt{Var(X_1)\cdot Var(X_2)}} =0\Rightarrow ~X_1,X_2~ s.u. \end{eqnarray}$ Unter der Bedingung das $\begin{eqnarray} c_{12}=c_{21}=0 \end{eqnarray}$

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