Potenzreihe

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06.09.2012, 11:38	Jazz007	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe Meine Frage: Hallo ich stecke gerade bei einer aufgabe fest: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty n^{\frac{n}{2} }x^{n} \end{eqnarray}$ Ich habe hier gerade probleme den Konvergenzradius zu berechnen. Meine Ideen: gepostet
06.09.2012, 11:54	Steffe2361	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihe hey, ich habe das selbe Problem 2posts weiter oben, bin daher genauso anhnunglos. Dennoch würde ich es mit der Formel von Hadamard probieren: Sprich: $\begin{eqnarray} \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty } \|c_n\|^{1/n } \end{eqnarray}$ Bitte um korrektur mfg
06.09.2012, 12:07	Jazz007	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder kann mann das so machen: Mann könnte den term umschreiben: $\begin{eqnarray} \sqrt{n^{n} } \end{eqnarray}$ Aber wie man weiter vorgehen soll weiss ich auch nicht.
06.09.2012, 12:15	Monarius	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielleicht hilft das Potenzgesetz $\begin{eqnarray} (x^a)^b = x^{ab} \end{eqnarray}$ beim Einsetzen von $\begin{eqnarray} n^{\frac{n}{2}} \end{eqnarray}$ in die Formel?
06.09.2012, 12:16	Jazz007	Auf diesen Beitrag antworten »
War mein ansatz falsch oder wie?
06.09.2012, 12:22	Monarius	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wenn du $\begin{eqnarray} \sqrt{n^n} \end{eqnarray}$ in die Formel einsetzt, erhälst du $\begin{eqnarray} (\sqrt{n^n})^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray}$ und dann braucht man wieder die Potenzgesetze. Wenn man $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ schon aus dem Exponenten entfernen will, ist die Darstellung $\begin{eqnarray} (\sqrt{n})^n \end{eqnarray}$ praktischer.
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06.09.2012, 12:22	Steffe2361	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja ich hätte (möchte jetzt keine Kösung posten, da wie gesagt es auch nur eine Vermutung ist) $\begin{eqnarray} \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty } \|c_n\|^{1/n } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \limsup_{n \to \infty } \|n^\frac{n}{2}\|^{1/n } \end{eqnarray}$ = Mittels Potenzrechenregeln sollte doch: $\begin{eqnarray} \limsup_{n \to \infty } \|n^\frac{n}{2n}\| \end{eqnarray}$ Dies nun kürzen ergibt: $\begin{eqnarray} 1/R = n^{1/2} \Rightarrow R = \limsup_{n \to \infty } \frac{1}{n^{1/2}} \end{eqnarray}$ Ja und da dies gegen 0 geht, würde ich nach Formel von Hadamard sagen, dass $\begin{eqnarray} R = \infty \end{eqnarray}$ aber wie gasgt, reine Vermutung und ich bitte um eine Verbesserung
06.09.2012, 12:27	Monarius	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast, es steht aber schon richtig da: $\begin{eqnarray} R = \limsup_{n \to \infty } \frac{1}{n^{1/2}} = \limsup_{n \to \infty } \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ Du hast wohl $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1}{R} \end{eqnarray}$ verwechselt.
06.09.2012, 12:32	Malena	Auf diesen Beitrag antworten »
du kannst es eigentlich so machen, wie Steffe meinte: $\begin{eqnarray} \frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty } \| a_{n} \|^{\frac{1}{n} } = \lim_{n \to \infty } \|(n^{\frac{n}{2}})^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty } \| n^{\frac{1}{2}} \|<br /> dh R=\lim_{n \to \infty } \frac{1}{\| n^{\frac{1}{2}}\|} =0 \end{eqnarray}$ wäre jetzt mein Vorschlag dazu
06.09.2012, 12:34	Jazz007	Auf diesen Beitrag antworten »
Die nte wurzel aus n würde ja gegen 1 gehen. Aber das hilft mir glaub ich nicht weiter.
06.09.2012, 12:38	Malena	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir leid, ich habe mit dem formel-editor so lange gebraucht, dass ich nicht gesehen hatte, dass du schon die vollständige Lösung gepostet hast
06.09.2012, 12:46	Monarius	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls dir der dargestellte Lösungsweg nicht hilft, können wir es auch gerne nochmal mit $\begin{eqnarray} \sqrt{n^n} \end{eqnarray}$ durchrechnen. Da ändert sich aber nicht viel: $\begin{eqnarray} R = \limsup_{n \to \infty } \frac{1}{\|c_n\|^{\frac{1}{n}}} = \limsup_{n \to \infty } \frac{1}{(\sqrt{n^n})^{\frac{1}{n}}} \end{eqnarray}$ Jetzt muss mit Potenzgesetzen aufgelöst werden. $\begin{eqnarray} \sqrt{x} = x^\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x^a)^b = x^{ab} \end{eqnarray}$ @Malena: Passt schon

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