mathe, summe der ersten natürlichen zahlen, beweisführung

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verloren_im_vorkurs Auf diesen Beitrag antworten »
mathe, summe der ersten natürlichen zahlen, beweisführung
Meine Frage:
hallo,
ich sitze seit stunden über folgender frage und komme nicht weiter:

Zeigen Sie, dass für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen gilt:

1+2+3+...+(n+1)+n = n*(n+1)/2,

indem Sie auf zwei verschiedene Arten ermitteln, wie viele Spiele es bei einem Turnier im Modus jeder gegen jeden mit n+1 Mannschaften gibt.

Meine Ideen:

Ich habe jetzt überlegt:

möglichkeit 1 der beweisführung: stumpfes einsetzen, da hab ich für n=5 (also n+1 =6) gewählt und bin auf 15 spiele gekommen. das sollte stimmen.

probleme bereitet nun die zweite variante:

n+1 heißt wahrscheinlich, dass es eine ungerade Anzahl von Mannschaften gibt. (hat mir aber nicht weitergeholfen)

dann hab ich an das urnenmodell gedacht (auch sackgasse?)

wieviele möglichkeiten gibt es aus n+1 mannschaften paare zusammenzustellen:

n+1
k

k=2, weil ja immer zwei teams gegeneinander antreten.

(n+1)!/k!* (n-k)

kann ich aber nicht ausrechnen....

gehts vielleicht auch irgendwie über das bilden von summen?
1 + n+1 = n+2
2+ n= n+2
3+ n-1 = n+2 .....

weiß einfach nicht weiter unglücklich
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RE: mathe, summe der ersten natürlichen zahlen, beweisführung
Hallo,
Zitat:
Original von verloren_im_vorkurs


1+2+3+...+(n-1)+n = n*(n+1)/2

indem Sie auf zwei verschiedene Arten ermitteln, wie viele Spiele es bei einem Turnier im Modus jeder gegen jeden mit n+1 Mannschaften gibt.

Statt dem Plus muss ein Minus hin (habe es rot markiert).
Und dieser (n-1) Term soll bloß andeuten, dass die Zahlen der Reihe nach aufsummiert werden, wohl zum besseren Verständnis wurde da eben noch der Vorgänger n-1 hingeschrieben (das hat nichts mit ungerade/gerade zu tun)


Zitat:

möglichkeit 1 der beweisführung: stumpfes einsetzen, da hab ich für n=5 (also n+1 =6) gewählt und bin auf 15 spiele gekommen. das sollte stimmen.
Das ist aber kein Beweis, damit hast du dir nur die Formel plausibel gemacht Augenzwinkern

Gemeint ist die Aufgabe so: Du sollst auf zwei Weisen die Anzahl der Spiele, wenn alle genau einmal gegeneinander spielen, durch eine Formel ausdrücken. Einmal was du schon richtig gemacht hast durch den Binomialkoeffizienten (n über 2), der eben genau die Formel
n(n+1)/2 ergibt.

Du sollst die Gleichheit dieses Ausdrucks mit der Summe beweisen, also musst du beweisen, dass die Anzahl der gespielten Spiele auch durch die Summe 1+2+...+n ausdrückbar ist.
Das ist also das einzige, was du noch machen musst Augenzwinkern

Wenn du das getan hast, ist die Aufgabe fertig: die Identität
1+2+...+n=n(n+1)/2 wurde kombinatorisch bewiesen, da die Anzahl der Spiele ja nicht davon abhängt, auf welche Weise sie berechnet wird.

Man kann es natürlich auch anders beweisen:

Zitat:

gehts vielleicht auch irgendwie über das bilden von summen?
1 + n+1 = n+2
2+ n= n+2
3+ n-1 = n+2 .....

weiß einfach nicht weiter unglücklich

Genau, so zeigt man die Identität am geschicktesten, allerdings würde ich analog zur Aufgabenstellung bei 1+n =n+1 , 2+ (n-1) = n+1 etc. bleiben. Allerdings ist in der Aufgabenstellung ein kombinatorischer Beweis verlangt, also mach lieber die Methode von oben fertig.
verloren_im_vorkurs Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mathe, summe der ersten natürlichen zahlen, beweisführung
hey, danke für die antwort. ich werd das morgen gleich mal ausprobieren.

lg
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