mathe, summe der ersten natürlichen zahlen, beweisführung |
06.09.2012, 12:24 | verloren_im_vorkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
mathe, summe der ersten natürlichen zahlen, beweisführung hallo, ich sitze seit stunden über folgender frage und komme nicht weiter: Zeigen Sie, dass für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen gilt: 1+2+3+...+(n+1)+n = n*(n+1)/2, indem Sie auf zwei verschiedene Arten ermitteln, wie viele Spiele es bei einem Turnier im Modus jeder gegen jeden mit n+1 Mannschaften gibt. Meine Ideen: Ich habe jetzt überlegt: möglichkeit 1 der beweisführung: stumpfes einsetzen, da hab ich für n=5 (also n+1 =6) gewählt und bin auf 15 spiele gekommen. das sollte stimmen. probleme bereitet nun die zweite variante: n+1 heißt wahrscheinlich, dass es eine ungerade Anzahl von Mannschaften gibt. (hat mir aber nicht weitergeholfen) dann hab ich an das urnenmodell gedacht (auch sackgasse?) wieviele möglichkeiten gibt es aus n+1 mannschaften paare zusammenzustellen: n+1 k k=2, weil ja immer zwei teams gegeneinander antreten. (n+1)!/k!* (n-k) kann ich aber nicht ausrechnen.... gehts vielleicht auch irgendwie über das bilden von summen? 1 + n+1 = n+2 2+ n= n+2 3+ n-1 = n+2 ..... weiß einfach nicht weiter |
||||||||
06.09.2012, 13:55 | Fragen über Fragen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: mathe, summe der ersten natürlichen zahlen, beweisführung Hallo,
Statt dem Plus muss ein Minus hin (habe es rot markiert). Und dieser (n-1) Term soll bloß andeuten, dass die Zahlen der Reihe nach aufsummiert werden, wohl zum besseren Verständnis wurde da eben noch der Vorgänger n-1 hingeschrieben (das hat nichts mit ungerade/gerade zu tun)
Gemeint ist die Aufgabe so: Du sollst auf zwei Weisen die Anzahl der Spiele, wenn alle genau einmal gegeneinander spielen, durch eine Formel ausdrücken. Einmal was du schon richtig gemacht hast durch den Binomialkoeffizienten (n über 2), der eben genau die Formel n(n+1)/2 ergibt. Du sollst die Gleichheit dieses Ausdrucks mit der Summe beweisen, also musst du beweisen, dass die Anzahl der gespielten Spiele auch durch die Summe 1+2+...+n ausdrückbar ist. Das ist also das einzige, was du noch machen musst Wenn du das getan hast, ist die Aufgabe fertig: die Identität 1+2+...+n=n(n+1)/2 wurde kombinatorisch bewiesen, da die Anzahl der Spiele ja nicht davon abhängt, auf welche Weise sie berechnet wird. Man kann es natürlich auch anders beweisen:
Genau, so zeigt man die Identität am geschicktesten, allerdings würde ich analog zur Aufgabenstellung bei 1+n =n+1 , 2+ (n-1) = n+1 etc. bleiben. Allerdings ist in der Aufgabenstellung ein kombinatorischer Beweis verlangt, also mach lieber die Methode von oben fertig. |
||||||||
09.09.2012, 20:50 | verloren_im_vorkurs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: mathe, summe der ersten natürlichen zahlen, beweisführung hey, danke für die antwort. ich werd das morgen gleich mal ausprobieren. lg |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|