Ableitung von zwei Exponentialfunktion

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06.09.2012, 14:40

134340

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Ableitung von zwei Exponentialfunktion

Hi Matheboarduser Wink

Ich habe mich jetzt schon zu den Exponentialfunktionen durchgekämpft Big Laugh

dabei bin ich auf zwei Funktionen gestoßen, bei denen ich nicht weiter komme; vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen. smile

Die beiden Funktionen sind:
$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{ax+b} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{e^x+a}{e^x-a} \end{eqnarray*}$

Bei f weiß ich nicht, wie ich das +b behandeln soll verwirrt

Und bei g bin ich absolut ratlos.

06.09.2012, 14:43

Cheftheoretiker

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RE: Problem bei der Ableitung von zwei Exponentialfunktion
Hi,

bei der ersten ganz normal mit der Kettenregel ans Werk.

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{ax+b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{ax+b}\cdot(ax+b)' \end{eqnarray*}$

smile

06.09.2012, 15:38

134340

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Das ist dann $\begin{eqnarray*} f'(x)=a*e^{ax+b} \end{eqnarray*}$ .

Aber warum? Wie bist du auf die Kettenregel gekommen? Und warum muss ich hier nur den Exponenten berücksichtigen?

06.09.2012, 15:57

Cheftheoretiker

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Die Kettenregel kommt ja - Wie der Name auch sagt Big Laugh

- bei verketteten Funktionen zum Einsatz.

$\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ist die äußere und $\begin{eqnarray*} ax+b \end{eqnarray*}$ ist die innere Funktion.
Wenn dir das alles nicht passt, kannst du auch logarithmisch ableiten. D.h.

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{ax+b} \end{eqnarray*}$

Nun logarithmieren,

$\begin{eqnarray*} ln(f(x))=ax+b \end{eqnarray*}$

Nun ableiten per Kettenregel

$\begin{eqnarray*} \frac{f'(x)}{f(x)}=a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ noch auf die andere Seite bringen

$\begin{eqnarray*} f'(x)=f(x)\cdot a \end{eqnarray*}$

Und da wir wissen das $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{ax+b} \end{eqnarray*}$ lautet, schreiben wir:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{ax+b}\cdot a \end{eqnarray*}$

smile

06.09.2012, 16:24

134340

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Achso

Danke für deine ausführliche Erklärung Freude

Ich werde mich jetzt mal an $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{e^x+a}{e^x-a} \end{eqnarray*}$ machen.
Da hab ich jetzt durch die Quotientenregel $\begin{eqnarray*} \frac{e^x*(e^x-a)-(e^x+a)*e^x}{(e^x-a)^2} \end{eqnarray*}$
geschockt

Aber das bekomm ich doch nie im leben vereinfacht

06.09.2012, 16:30

Cheftheoretiker

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Klammer doch erstmal $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ aus, dann kannst du den Zähler vereinfachen. smile

06.09.2012, 16:46

134340

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Ich denke ich habs inetwa hinbekommen smile

$\begin{eqnarray*} g'(x)=\frac{e^x*(e^x-a)-(e^x+a)*e^x}{(e^x-a)^2}=\frac{e^x*(e^x-1)}{(e^x-a)^2}=\frac{e^{2x}-e^x}{(e^x-a)^2} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

06.09.2012, 16:55

Cheftheoretiker

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Ähm, nein irgendwie nicht. verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{e^x*(e^x-a)-(e^x+a)*e^x}{(e^x-a)^2}=\frac{e^x[(e^x-a)-(e^x+a)]}{(e^x-a)^2}=\frac{e^x[e^x-a-e^x-a]}{(e^x-a)^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt aber... Augenzwinkern

06.09.2012, 18:39

134340

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$\begin{eqnarray*} g'(x)=\frac{e^x*(e^x-a)-(e^x+a)*e^x}{(e^x-a)^2}=\frac{e^x[(e^x-a)-(e^x+a)]}{(e^x-a)^2}=\frac{e^x[e^x-a-e^x-a]}{(e^x-a)^2}=\frac{-2ae^x}{(e^x-a)^2} \end{eqnarray*}$

Das war ja eine schwere Geburt Big Laugh

Danke für deine Hilfe Freude

06.09.2012, 18:48

Cheftheoretiker

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Keine Ursache. smile

Schönen Gruß Wink

06.09.2012, 18:53

Che Netzer

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Vielleicht fiele es nach folgender Umformung auch leichter:
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm e^x+a}{\mathrm e^x-a}=\frac{\mathrm e^x-a+a+a}{\mathrm e^x-a}=1+\frac{2a}{\mathrm e^x-a}\,. \end{eqnarray*}$

06.09.2012, 18:57

Mystic

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Zitat:

Original von 134340
Das war ja eine schwere Geburt Big Laugh

Ja, eine Zangengeburt sozusagen... Big Laugh

Du hättest es dir aber viel leichter machen können, wenn du vor dem Ableiten noch ein bißchen wie folgt umgeformt hättest:

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{e^x+a}{e^x-a}=\frac{(e^x-a)+2a}{e^x-a}=1+2a(e^x-a)^{-1} \end{eqnarray*}$

Zum Ableiten braucht man dann nur die Kettenregel + Potenzregel... Augenzwinkern

Edit: Seh gerade, dass ich damit zu spät dran war...

06.09.2012, 19:15

134340

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Ja, ich wär einfach niemals auf diese Idee gekommen Big Laugh

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