Tensoren

06.09.2012, 16:02

Monoid

Tensoren

Hallo,

Ich habe mal versucht ein bisschen Tensoren zu verstehen.

$\begin{eqnarray*} \mathbb C \otimes \mathbb C \text{ teilmenge } \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ . Gilt diese Aussage?

Wenn ja, wäre $\begin{eqnarray*} \mathbb C \otimes \mathbb C \text{ein 2-fach kontravarianter Tensorraum, der nicht kovariant ist oder mit anderen Worten:} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Jeder Tensor 2. Stufe, der 2-fach kontravariant ist ein Vektor. In diesem Fall ein komplexer Vektor.?} \end{eqnarray*}$

Edit Equester: Überlänge des Latex-Codes korrigiert.

07.09.2012, 20:08

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RE: Tensoren
Da du offenbar gerne mit C arbeitest, hier in C-Sprache:

Zu erstens: Wie meinst du das? Einfach würde ich sagen: Nein.

Zu zweitens: Ich finde es nicht ganz so offensichtlich sich Tensoren über Tensorprodukträume vorzustellen. Nimm folgendes:
Ein Tensor ist eine multilineare Abbildung (also linear in jeder Komponente) von einem kartesischen Produkt aus C-Vektorräumen und ihrem Dual in den Grundkörper. Also:
$\begin{eqnarray*} T: \mathcal{V}\times \ldots \times \mathcal{V}\times \mathcal{V}^*\times \ldots \times \mathcal{V}^*\to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Damit kann unseren Tensor per definitionem als Elemente des Raums $\begin{eqnarray*} T\in (\mathcal{V}\otimes \ldots \otimes \mathcal{V}\otimes \mathcal{V}^*\otimes \ldots \otimes \mathcal{V}^*)^* \end{eqnarray*}$ auffassen. Stern reinziehen (endlich dim. VR), Doppelsterne heben sich bei endlichdimensionalen Vektorräumen auf und voilà, du hast einen Tensorproduktraum da stehen, wie du ihn in deinem Beispiel verwendest.

Das Tensorprodukt ist im Grunde eine abstraktere Variante, aber man sollte sich immer klarmachen, dass hinter Tensorprodukten Multilinearformen stecken!

Das erinnert mich daran, dass ich immer noch mal ein Tutorial über Tensoren in Physik und Mathematik schreiben wollte...

Gruß
MI

08.09.2012, 10:03

Monoid

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RE: Tensoren
Hallo,

Vielen Dank dür deine Antwort!

Ich werde mir deine Antwort noch mal genauer durchlesen. Denn sie ist kompliziert...

Aber wenn ich doch denn komplexen Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ habe, ist eine Basisvektor von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \text{doch} {1} => \end{eqnarray*}$ basisvektor von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \otimes \mathbb C \end{eqnarray*}$ doch $\begin{eqnarray*} {1} \oplus {1}= \{(x,y)|x \in \{1\}, y\in \{1\}\}={(1,1)} \end{eqnarray*}$ da (1,1) ein Basisvektor in $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \mathbb C \otimes \mathbb C\subseteq \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ .?

Mmm

Edit: LaTeX korrigiert. Verwende bitte die Vorschau. Gruß, Reksilat.

08.09.2012, 10:20

ollie3

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RE: Tensoren
hallo,
einen komplexen vektorraum C gibt es in dem sinne
nicht. man kann C aber als 2-dimensionalen vektorraum
über R auffassen, und der hätte dann die basis (1,0) und (0,1)
über R.
gruss ollie3

08.09.2012, 10:25

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RE: Tensoren
Naja, generell ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}\otimes \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ja ein eindimensionaler C-Vektorraum. Den einen Basisvektor, den du zum Aufspannen des ganzen Raum brauchst, hast du ja angegeben. Insofern kannst du das vielleicht als Teilmenge auffassen - aber eben ohne jede weitere Struktur, weil Addition/Multiplikation der Elemente deines Tensorproduktraums ja leider anders funktionieren, als in C.

Von Teilmengen von Vektorräumen zu sprechen ist aber reichlich uninteressant. Was du möchtest sind Teilräume.

Zur Notation: Ich würde $\begin{eqnarray*} 1\otimes 1 \end{eqnarray*}$ schreiben, das $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ steht im allgemeinen für die direkte Summe. Die Tupelschreibweise ist hier oft dieselbe, aber eigentlich funktioniert das doch anders.

EDIT: Ich habe da ein bisschen Bauchschmerzen. So richtig gefallen tut es mir nicht, $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}\otimes \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ als einfache Teilmenge von C^2 aufzufassen. Ich habe das Gefühl, dass das die falsche Intuition gibt. Ich muss da noch mal drüber nachdenken. /EDIT

Zum Rest: Nimm dir Zeit, ich führe das gerne aus.

@ ollie3:

Deinen Einwand verstehe ich nicht. Du kannst einen Vektorraum über JEDEN Körper basteln und insofern ist C selbst ein komplexer Vektorraum einer Dimension. Genauso wie IR ein reeller eindim. Vektorraum ist.

Gruß
MI

08.09.2012, 10:49

Monoid

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RE: Tensoren

Zitat:

Original von MI
- aber eben ohne jede weitere Struktur, weil Addition/Multiplikation der Elemente deines Tensorproduktraums ja leider anders funktionieren, als in C.

Wie denn?

Wenn man doch das Tensorprodukt von Vektorräumen verstanden hat, sind Tensoren doch auch nicht mehr sehr schwer oder?

Zitat:

Zur Notation: Ich würde $\begin{eqnarray*} 1\otimes 1 \end{eqnarray*}$ schreiben, das $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ steht im allgemeinen für die direkte Summe. Die Tupelschreibweise ist hier oft dieselbe, aber eigentlich funktioniert das doch anders.

das soll auch die direkte summe sein, und zwar von {1} und {1} aber ich dachet immer das wäre im endlichen fall das selbe wie {1} x {1}.?

Vielen Dank bis hierher!

Mmm

08.09.2012, 19:26

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RE: Tensoren

Zitat:

Original von Mathemathemathe

Zitat:

Original von MI
- aber eben ohne jede weitere Struktur, weil Addition/Multiplikation der Elemente deines Tensorproduktraums ja leider anders funktionieren, als in C.

Wie denn?

Naja, Tensoren sind ja multilinear. Also $\begin{eqnarray*} 1\otimes 1+1\otimes 1=(1+1)\otimes 1 \end{eqnarray*}$ - und das ist anders als im Vektorraum, nicht war?

Insofern ist denke ich die Vorstellung, das ganze als Teilmenge aufzufassen, irreführend, weil es keine kanonische Form der Einbettung gibt.
Welche Definition eines Tensorproduktes nutzt du? Die über den freien Vektorraum oder die über die universelle Eigenschaft? In letzterer gehst du zwar irgendwie vom kartesischen Produkt aus, aber es passiert eben noch etwas in Richtung Tensorprodukt.

Zitat:

das soll auch die direkte summe sein, und zwar von {1} und {1} aber ich dachet immer das wäre im endlichen fall das selbe wie {1} x {1}.?

Das ist richtig, aber deine Tensoren sind eben nicht Tupel im kartesischen Produkt.
Da ist genau der Knackpunkt - die Rechenregeln für Tensoren und Vektoren sind genau anders, weil Tensoren Multilinearformen sind und Vektoren, naja, Vektoren sind - siehe obiges Beispiel.

Schau mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Tensorprodukt. Erster Abschnitt "Tensorprodukt von Vektorräumen". Da steht "Für das Symbol gelten folgende Rechenregeln" - und da siehst du eben fundamental andere Rechenregeln als für Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^2 \end{eqnarray*}$ .
Insofern funktioniert ein Vektor $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ anders als ein Tensor $\begin{eqnarray*} 1\otimes 1 \end{eqnarray*}$ - und genau da liegt eben auch das Problem mit der Teilmengenbeziehung. Und deswegen - um zu deiner zweiten Frage zu kommen - kommst du NICHT auf einen Vektor für deinen Tensor zweiter Stufe.

Zitat:

Wenn man doch das Tensorprodukt von Vektorräumen verstanden hat, sind Tensoren doch auch nicht mehr sehr schwer oder?

Das ist genau die Frage. Ich bin da aus Erfahrung anderer Meinung. Ich bin so eine Mischung aus Physiker und Mathematiker - und was die Physiktensoren mit mathematischen Tensorprodukten zu tun hatten, das war mir über Jahre nicht klar. Eigentlich hast du Recht - man kann es anhand dessen verstehen - aber mir fehlte da immer etwas.

Gruß
MI

09.09.2012, 06:38

Monoid

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RE: Tensoren
Na, ich denke, dass ich mit Tensoren noch ein bisschen warten muss. Aber wenn ich das Gefühl habe mich wieder an ihnen zu versuchen melde ich wieder.

Mmm

09.09.2012, 10:07

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RE: Tensoren
Das hängt alles davon ab, aus welcher Motivation raus du Tensoren verstehen möchtest. Physikermathematik? Algebra? Geometrie? Jeder hat da so seinen anderen Ansatz und irgendwo muss man anfangen...

Ich persönlich würde raten mit der Definition über multilineare Abbildungen anzufangen, weil da ziemlich schnell der Unterschied zwischen den Stufen klar ist und was jetzt ko- und kontravariant ist. Um das aber vernünftig mit deinen Tensorprodukten in Einklang zu bringen musst du unbedingt wissen, was (algebraische) Dualräume sind und wie die funktionieren. Wenn du dich daran gewöhnt hast, dann ist es eigentlich gar nicht mehr so schwierig, wenn wir Tensoren und Tensorprodukte nur für Körper verstehen wollen.

Gruß
MI

09.09.2012, 10:10

Monoid

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RE: Tensoren
Ich will mich jetzt auf Algebra spezialisieren.
Das was du da erwähnt hast, kenne ich eigentlich so einigermaßen. Aber ich warte trotzdem ein bisschen.

Mmm

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