Frage zu einem Satz aus der Wtheorie über Maße

06.09.2012, 16:05

DoubleCast

Frage zu einem Satz aus der Wtheorie über Maße

Hallo, da ich nächste Woche meine mündliche in der Wtheorie habe und mein Prof derzeit leider im Urlaub ist frage ich einfach mal hier.

Satz.

$\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A}),(\mathcal{H},\mathcal{L}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X:\Omega \rightarrow \mathcal{H} \quad mb \quad \mu \ \end{eqnarray*}$ Maß auf $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$

Dann definiert

$\begin{eqnarray*} \mu^x(B) :=\mu(X^{-1}(B)) \forall B \in \mathcal{L} \end{eqnarray*}$ ein Maß auf $\begin{eqnarray*} \mathcal{L} \end{eqnarray*}$

Frage:

Müsste das Maß nicht aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ kommen? Oder sehe ich das falsch?

06.09.2012, 16:14

Mazze

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Was genau ist das Problelm? Wir haben

$\begin{eqnarray*} X^{-1}(B) \in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} B \in \mathcal{L} \end{eqnarray*}$

Alles wie es sein soll. Wo genau liegt das Problem?

06.09.2012, 16:43

DoubleCast

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Das Problem ist, dass das Maß $\begin{eqnarray*} \mu^x(B) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathcal{L} \end{eqnarray*}$ sein soll. Muss es nicht auf $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ sein? Hoffe ich habe die Frage diesmal deutlicher gestellt smile

06.09.2012, 16:51

Mazze

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Zitat:

Nein, es ist genauso wie es da steht, $\begin{eqnarray*} \mu^x(B) \end{eqnarray*}$ ist ein Maß auf $\begin{eqnarray*} \mathcal{L} \end{eqnarray*}$ . Und wir definieren es über das Urbild von X.

Es ist ja schlielßlich auch $\begin{eqnarray*} B \in \mathcal{L} \end{eqnarray*}$ , wie soll dann $\begin{eqnarray*} \mu^x \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ leben?

Schau Dir nochmal in Ruhe die Ausdrücke an. Es ist :

$\begin{eqnarray*} B \in \mathcal{L} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X : \mathcal{A} \to \mathcal{L} \end{eqnarray*}$ eine messbare Abbildung.

Mit $\begin{eqnarray*} X^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ bezeichnen wir das Urbild der Menge $\begin{eqnarray*} B \in \mathcal{L} \end{eqnarray*}$ unter X und es ist $\begin{eqnarray*} X^{-1}(B) \in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ .

Wir haben ein Maß $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ und wir können, da X messbar ist die Mengen $\begin{eqnarray*} X^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ messen.

Jetzt definieren wir also :

$\begin{eqnarray*} \mu^x(B) := \mu(X^{-1}(B)) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} B \in \mathcal{L} \end{eqnarray*}$

Offenbar ist $\begin{eqnarray*} \mu^x : \mathcal{L} \to \mathbb{R}_0^+ \end{eqnarray*}$ daher kann $\begin{eqnarray*} \mu^x \end{eqnarray*}$ nur ein Maß auf $\begin{eqnarray*} \mathcal{L} \end{eqnarray*}$ sein.

06.09.2012, 16:56

DoubleCast

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Super Erklärung, jetzt habe ich auch gesehen wo mein Denkfehler war, danke! Freude

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