Verknüpfung von Funktionen im Zusammenhang mit Bijektivität

06.09.2012, 22:31

Mr. Tom

Verknüpfung von Funktionen im Zusammenhang mit Bijektivität

Meine Frage:
Ich bin beim wiederholen für eine Klausur über eine Aufgabe gestolpert und frage mich ob mein Ansatz/Lösungsweg Korrekt ist.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Für die Abbildungen $\begin{eqnarray*} f:X\Rightarrow Y , g:Y\Rightarrow Z , h:Z\Rightarrow X \end{eqnarray*}$ gelte:
$\begin{eqnarray*} h\circ g\circ f =id_{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f\circ h\circ g =id_{y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g\circ f\circ h =id_{z} \end{eqnarray*}$
Beweisen sie:
$\begin{eqnarray*} f,g,h \end{eqnarray*}$ sind bijektive Abbildungen und bestimmen sie $\begin{eqnarray*} f^{-1} ,g^{-1} ,h^{-1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee ist nun:
Da $\begin{eqnarray*} h\circ g\circ f =id_{x} \end{eqnarray*}$ gilt, ist ja $\begin{eqnarray*} h^{-1}=g \circ f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (g \circ f )^{-1}=h \end{eqnarray*}$ und somit sind diese Beiden Abbildungen jewiels die Umkehrabblidung der Anderen, also müssen beiden Abbildungen bijektiv sein.
Somit währe $\begin{eqnarray*} h^{-1} \end{eqnarray*}$ auch direkt bestimmt.
Für die beiden anderen Abbildungen folgt der Beweis dann Analog.

Der Knackpunkt ist wohl ob man aus dieser Verknüpfung wirklich die existenz einer Umkehrabildung und daraus die Bijektivität folgern darf.

Schonmal Danke im Vorraus Augenzwinkern

06.09.2012, 22:43

Math1986

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RE: Verknüpfung von Funktionen im Zusammenhang mit Bijektivität
Die Argumentation ist korrekt: Aus der Existenz einer (eindeutigen!) Umkehrabbildung folgt direkt die Bijektivität der Funktionen.

06.09.2012, 22:50

Mr. Tom

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Dann kann ich ja beruhigt zur nächsten Aufgabe gehen Big Laugh