Lineare Unabhängigkeit von Polynomen

07.09.2012, 11:40	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit von Polynomen Hallo, Ich habe eine kurze Verständnisfrage zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit von Polynomen (können auch multivariat sein). Angenommen $\begin{eqnarray} A,B,C \end{eqnarray}$ seien endliche Mengen von Polynomen. Es gebe einen Punkt $\begin{eqnarray} x^ \end{eqnarray}$ , an dem die Polynome in der Menge A mit Ordnung 3, die Polynome in der Menge B mit Ordnung 2 und die in der Menge C einfach verschwinden. Kann man dann in dem Ansatz $\begin{eqnarray} \alpha A+\beta B+\gamma C=0 \end{eqnarray*}$ die Mengen A,B,C getrennt betrachten und deren lineare Unabhängigkeit nachweisen? Vielen Dank für eure Mithilfe
07.09.2012, 13:21	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst, dass du von den Mengen A,B,C jeweils einzeln zeigst, dass sie linear unabhängig sind und daraus dann schon folgerst, dass die Polynome aus allen 3 Mengen zusammen auch linear unabhängig sind? Das sollte unter den dir gegebenen Vorraussetzungen funktionieren.
07.09.2012, 13:35	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Genau so meinte ich das. Das mit den Skalaren ist natürlich etwas schlampig formuliert gewesen. Meine Behauptung lautet quasi: Seien $\begin{eqnarray} f_1,...,f_r, g_1,...,g_s, h_1,...,h_t \end{eqnarray}$ (multiviariate) Polynome die in $\begin{eqnarray} x^ \end{eqnarray}$ verschwinden mit $\begin{eqnarray} Ord(f_i(x^))=3 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} Ord(g_i(x^))=2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Ord(h_i(x^))=1 \end{eqnarray}$ . Sind dann die $\begin{eqnarray} f_i \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} g_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h_i \end{eqnarray}$ getrennt linear unabhängig, so sind alle Polynome linear unabhängig. Das würde sich dann sicher verallgemeinern
07.09.2012, 13:59	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sollte über die Ableitung funkionieren. O.b.d.A ist $\begin{eqnarray} \frac{\partial h_1}{\partial x_1} \neq 0 \end{eqnarray}$ . D.h. nach einmaligem Ableiten nach $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ erhält man, dass der Skalar vor $\begin{eqnarray} h_1 \end{eqnarray}$ gleich 0 sein muss. Nun greift Induktion.
07.09.2012, 14:05	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das ist in der Tat richtig. Also gilt das Prinizip. Vielen Dank

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