Zählen

12.07.2004, 07:55	Sar	Auf diesen Beitrag antworten »
Zählen Hallo, ich habe im Thema Kombinatorik folgendes Problem: Aufgabe 6) Es sei D={A,B,C,...,X,Y,Z} die Menge der 26 Buchstaben des Alphabets. Ein "Wort" der Länge r ist eine geordnete Folge von Buchstaben aus D. So ist ABBAC ein Wort der Länge 5. 6.c) Bei wieviel Wörtern der Länge 5, die aus lauter verschiedenen Buchstaben bestehen, stehen die vorkommenden Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge? 6.d) Bei wieviel Wörtern der Länge 5 stehen die vorkommenden Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge? (z.B.: is PQQYY ein solches Wort. Antwort: $\begin{eqnarray} 6.c) \begin{pmatrix} 26 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6.d) \end{eqnarray}$ Fallunterscheidung nach Zahl der verschiedenen Buchstaben 1.Fall: genau 1 Buchst.: 26 Möglichkeiten 2.Fall: genau 2 Buchst.: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 26 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für Auswahl, 4 Mögl. Anordnungen 3.Fall: genau 3 Buchst.: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 26 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für Auswahl, 6 Mögl. Anordnungen 4.Fall: genau 4 Buchst.: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 26 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für Auswahl, 4 Mögl. Anordnungen 5.Fall: genau 5 Buchst.: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 26 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für Auswahl, 1 Mögl. Anordnung $\begin{eqnarray} \Rightarrow 26+\begin{pmatrix} 26 \\ 2 \end{pmatrix}4+\begin{pmatrix} 26 \\ 3 \end{pmatrix}6+\begin{pmatrix} 26 \\ 4 \end{pmatrix}4+\begin{pmatrix} 26 \\ 5 \end{pmatrix}1 \end{eqnarray}$ Wie man sieht hab ich zwar die Lösungen, aber so richtig zurecht komme ich damit nicht. In Aufgabe 6.c) zum Beispiel verstehe ich nicht warum das die Anzahl der Wörter ist, wo die Buchstaben auch wirklich in alpahbetischer Reihenfolge stehen. Wenn ich das einfach glaube, ist 6.d) zur Hälfte auch klar, da verstehe ich nur wiederum nicht, wieso das im 2 Fall 4 und im 3.Fall 6... ist. Ich hoffe mir kann das einer näher bringen. Gruß
12.07.2004, 09:19	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zählen Also zu c) Du hast eine Menge mit 26 Elementen, das ist deine n-elementige Menge. Jetzt ziehst du 5 Elemente (Buchstaben) heraus. Um diese 5 Elemente anzuordnen, gäbe es genau 5!=120 verschiedene Möglichkeiten. Du willst aber nur genau eine dieser Möglichkeiten (nämlich die, wo die Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge stehen). Das ist also ein ungeordnetes Ziehen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, denn die 120 sind ohne Berücksichtigung der Reihenfolge nicht verschieden und zählen damit nur wie eine Möglichkeit. Oder anders: Du suchst alle Quintupel aus einer 26-elementigen Menge ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Das sind nunmal alle Kombinationen von 5 Elementen zur 26.Klasse und das ist der Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 26 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Und zu d) Um 2 Buchstaben aus dem Alphabet auszuwählen, gibt es $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 26 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten. Sagen wir du bekommst die beiden Buchstaben A und B. Dann gibt es folgende Möglichkeiten: AAAAB AAABB AABBB ABBBB Das sind genau 4 und das jetzt bei allen Kombinationen zweier Buchstaben. Also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 26 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot 4 \end{eqnarray}$ Um drei Buchstaben aus dem Alphabet auszuwählen, gibt es $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 26 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten. Sagen wir du bekommst die drei Buchstaben A, B und C. Dann gibt es wieder folgende Möglichkeiten: AAABC AABBC AABCC ABBBC ABBCC ABCCC Und das sind 6 Möglichkeiten, und das jetzt wieder bei allen Kombinationen dreier Buchstaben. Also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 26 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot 6 \end{eqnarray}$ Für vier Buchstaben gilt das gleiche. Du hast $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 26 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten diese vier auszuwählen. A, B, C und D: AABCD ABBCD ABCCD ABCDD Und das sind wieder 4 Möglichkeiten, und das jetzt wieder bei alle Kombinationen vierer Buchstaben. Also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 26 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot 4 \end{eqnarray}$ Und für 5 Buchstaben gibt es wie oben erklärt, $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 26 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ möglichkeiten und nur eine, diese anzuordnen: ABCDE Wenn du was nicht verstanden hast, frag einfach.
12.07.2004, 09:38	Sar	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Erklärung hat mir super weitergeholfen

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