Konvergenzverhalten einer Reihe (Quotientenkriterium)

07.09.2012, 11:50	Greed	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzverhalten einer Reihe (Quotientenkriterium) Meine Frage: Die Frage lautet: Untersuche ob die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{5^{n} }{(n+1)!} \end{eqnarray}$ absolut konvergiert. Meine Ideen: Da die Reihe für jedes n positiv bleibt gehe ich davin aus, dass Konvergenz = absolute Konvergenz. Das Quotientenkriterium führt mich nun über $\begin{eqnarray} \frac{5^{n+1} }{(n+2)!}\cdot \frac{(n+1)!}{5^{n} } \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \frac{5}{n+2} \end{eqnarray}$ Da ich bei allen anderen Beispielaufgaben jedoch eindeutige Ergebnisse für q<1 , q>1 , oder q = 1 bekommen habe wunder es mich, dass meine q für n<5 größer als 1 ist und danach kleiner/gleich 1. Habe ich mich verrechnet? Und wenn nicht was kann ich dann aus meinem Ergebnis schließen? mfg Samy Edit lgrizu: Latex Tags ergänzt!
07.09.2012, 12:03	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzverhalten einer Reihe (Quotientenkriterium) Die Reihe konvergiert, wenn der Grenzwertz $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\| \frac{a_{n+1}}{a_n} \| \end{eqnarray}$ existiert und <1 ist!
07.09.2012, 12:03	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzverhalten einer Reihe (Quotientenkriterium) Hallo Greed, Vielleicht solltest du nochmals deine Informationen zum "Quotientenkriterium" auffrischen. So wie du es interpretierst würde man für jedes n ein anderes q bekommen. Hier ist noch ein Limes gefordert!
07.09.2012, 12:11	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzverhalten einer Reihe (Quotientenkriterium) @ zyko Der Grenzwert ist nicht zwangsläufig gefordert. Es reicht aus, wenn ein festes q<1 existiert, so dass $\begin{eqnarray} \| \frac{a_{n+1}}{a_n}\| \leq q \end{eqnarray}$ ab einem Index $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ . Im besonderen gilt dann natürlich, dass die Reihe konvergent ist, wenn gilt $\begin{eqnarray} \lim \|\frac{a_{n+1}}{a_n}\| <1 \end{eqnarray}$ , wenn der Grenzwert existiert. Setze hier z.B. $\begin{eqnarray} n_0=7 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \|\frac{a_{n+1}}{a_n} \| \leq \frac{8}{9} <1 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} q=\frac{8}{9} \end{eqnarray}$ , wobei die Abschätzung auch genauer geht..... @greed Dein Ansatz ist also ohne weiteres zu gebaruchen, Grenzwert finde ich persönlcih aber schöner und "anschaulicher" (sofern Grenzwerte überhaupt anschaulich sind...)
07.09.2012, 12:51	stalker010	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh okay. $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{5}{n+2} \end{eqnarray}$ besitzt den Grenzwert 0 und dieser ist kleiner 1. Das heisst die Reihe konvergiert. Vielen Dank
07.09.2012, 13:24	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie bereits gesagt, Deine Lösung geht auch, geeignete Wahl von n_0 und man hat ein festes q<1....
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