Lösungsmenge bei komplexen Zahlen bestimmen

07.09.2012, 12:58

StevenSpielburg

Lösungsmenge bei komplexen Zahlen bestimmen

Ich habe ein paar Aufgaben, jedoch weiß ich absolut nicht wie ich auf die Lösungsmenge schließen soll, gibt es da irgendwelche Tricks? Rechenmöglichkeiten? Wäre super wenn ihr mir bei den Aufgaben helfen könntet und evtl einfach eine Beispielrechnung für ein paar Aufgaben posten könntet damit ich sehe wie es funktionieren kann. Danke soweit schon mal.

a) $\begin{eqnarray*} \frac{z}{z-1} = 1-3i \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z-i} -\frac{1}{z-1} = 1+i \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \frac{2}{z} + z = i \end{eqnarray*}$

07.09.2012, 13:01

Math1986

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RE: Lösungsmenge bei komplexen Zahlen bestimmen, Hilfe?!
Hallo,
generell ist die Ersetzung $\begin{eqnarray*} z=x+i\cdot y \end{eqnarray*}$ hilfreich.

Hier mal ein paar Ansätze:
a) Hier das $\begin{eqnarray*} z-1 \end{eqnarray*}$ auf die rechte Seite bringen
b) Brüche links auf den selben nenner bringen
c) alles mit z multiplizieren

07.09.2012, 13:16

StevenSpielburg

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okay also zu a)

$\begin{eqnarray*} \frac{z}{z-1} = 1-3i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x+iy}{x+iy-1} = 1-3i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+iy = (1-3i) * (x+iy-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+iy = x+iy-1-3ix-3i^2y +3i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+iy = x+iy-1-3ix+3y+3i \end{eqnarray*}$

meintest du das? Jetzt wüsste ich nicht mehr weiter.

07.09.2012, 14:42

Math1986

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Soweit richtig.
Nun formst du weiter um:

$\begin{eqnarray*} 0 = -1-3ix+3y+3i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-3i = -3ix+3y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tfrac 13 - i = -ix+y \end{eqnarray*}$

Daraus erhält man direkt $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y=\tfrac 13 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} z=1 + \tfrac 13 i \end{eqnarray*}$

Einsetzen in die Ausgangsgleichung bestätigt das:
$\begin{eqnarray*} \frac{z}{z-1}=\frac{1 + \tfrac 13 i}{\tfrac 13 i}=\frac{1}{\tfrac 13 i}+1=1-3i \end{eqnarray*}$

Nun die anderen Aufgaben.

07.09.2012, 14:51

StevenSpielburg

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nur zum Verständnis, das nennt man dann Koeffizientenvergleich oder?

bei b)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z-i} - \frac{1}{z-1} = 1+i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{z-1-z-i}{(z-i)*(z-1)} = 1+i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-1-i}{z^2-z-zi+i} = 1+i \end{eqnarray*}$

und jetzt? x+iy einsetzen?

07.09.2012, 14:58

Monoid

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Haloo,

Ich würde x+iy zwar nicht einsetzen, aber ich kann dir meinen Rechenweg erklären. Erstens machst du, wenn du sowas wie $\begin{eqnarray*} \frac{x}{y}+\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ hast, würde ich einen Bruch daraus machen. Dann mit dem Nenner auf beiden Seiten multipliezieren, und der Rest, ist von der Gleichung abhängig und eigentlich einfach.

Mmm

07.09.2012, 16:11

StevenSpielburg

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also:

$\begin{eqnarray*} \frac{-1-i}{z^2-z-zi+i} = 1+i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1-i = (1+i) * (z^2-z-zi+i) \end{eqnarray*}$

und dann? ich verstehe das mit dieser abhängigkeit und mit dem koeffizientenvergleich noch nicht so ganz.

07.09.2012, 16:49

Math1986

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Zitat:

Original von StevenSpielburg
nur zum Verständnis, das nennt man dann Koeffizientenvergleich oder?

Ja.

Zitat:

Original von StevenSpielburg
bei b)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z-i} - \frac{1}{z-1} = 1+i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{z-1-z-i}{(z-i)*(z-1)} = 1+i \end{eqnarray*}$

Da ist ein Fehler drin, richtig wäre
$\begin{eqnarray*} \frac{(z-1)-(z-i)}{(z-i)*(z-1)} = \frac{z-1-z+i}{(z-i)*(z-1)}= 1+i \end{eqnarray*}$

Danach mit dem Nenner multiplizieren.

07.09.2012, 20:47

original

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Zitat:

Original von Math1986

richtig wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{(z-1)-(z-i)}{(z-i)*(z-1)} = \frac{z-1-z+i}{(z-i)*(z-1)}= 1+i \end{eqnarray*}$

Danach mit dem Nenner multiplizieren.

...oder einfach auf beiden Seiten den Kehrwert nehmen: ->

$\begin{eqnarray*} (z-i)*(z-1) = \frac{i-1}{1+i} \end{eqnarray*}$

also dann:

$\begin{eqnarray*} z^2 - (1+i) \cdot z + i = i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [ z - (1+i) ] \cdot z = 0 \end{eqnarray*}$

und da bist du ja schon fast fertig.. smile