Eigenraum berechnen

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07.09.2012, 14:06	Dani_ela	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenraum berechnen Huhu, ich soll folgende Aufgabe lösen: Gegeben ist eine Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 5 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A \in M(2\times 2,\mathbb R ) \end{eqnarray}$ . Das charakteristische Polynom ist $\begin{eqnarray} \chi_{A}(t)=t^{2}-10t+24=(t-6)(t-4) \end{eqnarray}$ . Daraus folgt, dass die Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_{1}=6 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_{2}=4 \end{eqnarray}$ sind. Jetzt soll ich die Eigenräume bestimmen. Dazu muss ich doch $\begin{eqnarray} Ker(\varphi-\lambda id) \end{eqnarray}$ für beide Lambda bestimmen, oder? Danke! LG Daniela
07.09.2012, 14:11	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenraum berechnen Hallo, ja, wobei $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ vermutlich $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ sein sollte (oder die entsprechende Abbildung?). mfg, Ché Netzer
07.09.2012, 14:16	Dani_ela	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich glaube schon $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist ja eine Abbildung, $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine Matrix. Wenn ich das umschreibe, komme ich auf $\begin{eqnarray} Ker(A-\lambda E_{2}) \end{eqnarray}$ ... Das ist $\begin{eqnarray} Ker(\begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 5 \\ \end{pmatrix} - \lambda\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ Also für $\begin{eqnarray} \lambda_{1}=6 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} Ker(\begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 5 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \\ \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} Ker(\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \\ \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ . Wie mache ich jetzt weiter?
07.09.2012, 14:23	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Überlege dir, welche Vektoren $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Gleichung $\begin{eqnarray} (A-\lambda\operatorname{id})x=\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ erfüllen.
07.09.2012, 14:41	Dani_ela	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt mehrere Vektoren. $\begin{eqnarray} x_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{2}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber statt 1 kann ich auch 2,3,... nehmen. Hauptsache einmal positiv und einmal negativ.
07.09.2012, 14:47	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und fällt dir dazu eine allgemeine Form ein?
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07.09.2012, 14:53	Dani_ela	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Vektor mit einem Parameter, z.B. $\begin{eqnarray} x = \begin{pmatrix} a \\ -a \\ \end{pmatrix}, a\in \mathbb R \end{eqnarray}$
07.09.2012, 14:54	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau und das sind jetzt alle Eigenvektoren zum Eigenwert $\begin{eqnarray} 6 \end{eqnarray}$ . Damit hast du jetzt den ersten Eigenraum. (du hättest auch sagen können, dass dieser durch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aufgespannt wird)
07.09.2012, 15:05	Dani_ela	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, das heißt ich berechne alle Eigenvektoren zu einem Eigenwert und diese spannen dann den Eigenraum auf. $\begin{eqnarray} < \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} > \end{eqnarray}$ Ich versuche mich jetzt an der Berechnung des Eigenraums zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda_{2} = 4 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} Ker( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\\end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_{2} \\ \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ Der zweite Eigenraum besteht aus dem Aufspann $\begin{eqnarray} < \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} > \end{eqnarray}$ .
07.09.2012, 15:19	Dani_ela	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das richtig? Bin mir da nicht so sicher...
07.09.2012, 15:22	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt so. Den zweiten Eigenraum hättest du auch anders bestimmen können. Und zwar ist $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ symmetrisch, also müssen Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten senkrecht zueinander sein.
07.09.2012, 15:29	Dani_ela	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dankeschön

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