Quadratische Gleichung lösen

07.09.2012, 14:42

JanHN

Quadratische Gleichung lösen

Folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x^{2}+\sqrt{8}+2=0 \end{eqnarray*}$

Nu setze ich das einfach in die pq-Formel ein:

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac{8}{2} } \pm \sqrt{2-2} \end{eqnarray*}$

Macht gleich x1/2= $\begin{eqnarray*} -\sqrt{4} \end{eqnarray*}$

Im Buch steht aber als Lösung x1/2=- $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

verwirrt

07.09.2012, 14:50

klauss

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RE: Quadratische Gleichung lösen
Zunächst mal fehlt in der Angabe offenbar bei Wurzel 8 das x.
Ferner wäre dann die pq-Formel falsch angewendet worden für -p/2, denn p = Wurzel 8, d.h. die 2 darf nicht in die Wurzel hineingezogen werden.

07.09.2012, 14:50

M@rtin

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Zitat:

Nu setze ich das einfach in die pq-Formel ein: $\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac{8}{2} } \pm \sqrt{2-2} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht ganz richtig. Es sollte heißen:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = -\frac{\sqrt{8}}{2} \pm\sqrt{(\frac{\sqrt{8}}{2})^{2}-2} \end{eqnarray*}$

Das erklärt den Fehler am Ende.

Edit; Latex-Fehler meinerseits. Und wieder zu spät ;-)

07.09.2012, 15:06

JanHN

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Erstmal sorry, das "x" habe ich vergessen.

Also die Aufgabe nochmal:

$\begin{eqnarray*} x^{2}+\sqrt{8x}+2=0 \end{eqnarray*}$

Ok, wenn ich jetzt die 2 nicht in die Wurzel reinziehen darf, muss es doch am Ende

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=-\frac{\sqrt{8} }{2} \end{eqnarray*}$ heißen.

Und wie komme ich da jetzt auf

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

traurig

07.09.2012, 15:08

JanHN

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Zitat:

Original von M@rtin

Zitat:

Nu setze ich das einfach in die pq-Formel ein: $\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac{8}{2} } \pm \sqrt{2-2} \end{eqnarray*}$

Dann komme ich doch aber auch auf $\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt{8}}{2}\pm \sqrt{\frac{8}{4}-2 } \end{eqnarray*}$

Ich versteh jetzt nicht, wie ich die Wurzel auflösen soll, bzw. wie die Buchlösung $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ zu stande kommt.

07.09.2012, 15:19

M@rtin

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Allgemein heißt die p-q-Formel:

Eine quadratische Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} x^{2}+px+q=0 \end{eqnarray*}$
hat die Lösungen
$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} \end{eqnarray*}$

Hier ist:
$\begin{eqnarray*} p =\sqrt{8} \end{eqnarray*}$
q = 2

Damit folgt:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = -\frac{\sqrt{8}}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{\sqrt{8}}{2}\right)^{2}-2} \end{eqnarray*}$

Wichtig ist also hier, dass bei den $\begin{eqnarray*} \frac{p}{2} \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \end{eqnarray*}$ , die man für p einsetzt, durch 2 geteilt wird, und nicht nur die 8 in der Wurzel.

Berechne mal die große Wurzel und schaue was da herauskommt. Den Term $\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt{8}}{2} \end{eqnarray*}$ kannst Du noch durch teilweises Wurzelziehen vereinfachen.

07.09.2012, 15:28

Senas

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Siehe JanHN
Siehe JanHN letzter Berichtigung seiner Aufgabenstelltung! Da dort Wurzel(8x) jetzt steht, sind die bis jetzt gemachten Lösungsvorschläge alle nicht tragbar, da die PQ-Formel erst gelten würde, wenn das x hinter Wurzel(8) stehen würde.
Dann halt nicht mit der PQ-Formel, sondern so lösen.

07.09.2012, 15:33

M@rtin

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Ugh... guter Einwurf, danke sehr.

Ich unterstelle mal dass JanHH $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \quad x \end{eqnarray*}$ meinte, was zur Musterlösung die er angegeben hat passen würde, und nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{8x} \end{eqnarray*}$ .

Ich denke mal das Einzige was ihn von der Lösung noch fernhält ist die Umformung von $\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt{8}}{2} \end{eqnarray*}$

07.09.2012, 15:36

JanHN

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Wg. Senas Beitrag:
Ok, ich lern das noch mit Latex..
Also die Aufgabe nochmal: $\begin{eqnarray*} x^{2}+\sqrt{8}x+2=0 \end{eqnarray*}$

Also ich stelle mich grad bestimmt saublöd an und wenn ichs dann gerafft hab, hau ich mich Hammer

aber am Meisten verwirrt mich noch die Buchlösung.. aber ok, gem. deiner Erklärung schreibe ich nochmal meine wirren Rechengedanken:

Zitat:

Berechne mal die große Wurzel und schaue was da herauskommt. Den Term $\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt{8}}{2} \end{eqnarray*}$ kannst Du noch durch teilweises Wurzelziehen vereinfachen.

Da die große Wurzel = $\begin{eqnarray*} \sqrt{0} \end{eqnarray*}$ ist, halte ich mich doch nur vor dem $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ auf.

Zitat:

Wichtig ist also hier, dass bei den $\begin{eqnarray*} \frac{p}{2} \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \end{eqnarray*}$ , die man für p einsetzt, durch 2 geteilt wird, und nicht nur die 8 in der Wurzel.

Das ist der Knackpunkt, den ich nicht verstehe.
Wenn ich kürze, komme ich auf $\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt{4} }{1} \end{eqnarray*}$ und löse die Wurzel auf in -> -2.

Oder kürze ich schon beim Einsetzen von $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \end{eqnarray*}$ und habe quasi $\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt{4} }{2} \end{eqnarray*}$
dann würde ja die Buchlösung Sinn machen.

07.09.2012, 15:43

M@rtin

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Okay gut, was die große Wurzel angeht sind wir uns einig, die wird 0.

Im Term $\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt{8}}{2} \end{eqnarray*}$ darf man allerdings nicht das Argument in der Wurzel, also die 8, einfach mit der 2 im Nenner des Bruchs kürzen. Wurzeln und Potenzrechnung kommt in der Reihenfolge der Rechenarten noch vor Punktrechnung/Brüchen. Was Du aber machen kannst ist, die $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \end{eqnarray*}$ zur zerlegen, indem Du die 8 in eine Produkt aus einer Quadratzahl und einer anderen Zahl zerlegt und so teilweise die Wurzel ziehen kannst, danach kann man noch den Bruch vereinfachen.

Wegen dem teilweisen Wurzelziehen hier ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{48}=\sqrt{3 \cdot 16}=\sqrt{3} \quad \cdot 4 \end{eqnarray*}$ .

Mit einer ähnlichem Umformung kannst Du den Bruch auflösen.

07.09.2012, 15:49

Senas

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Nein, eigentlich nicht

x1,2 = -P/2 +- Wurzel( (P/2)^2 -q)

Also entweder ist in deinem Lösungsbuch die Lösung falsch angegeben, oder du hast die Aufgabe irgend wie falsch abgeschrieben.

x1,2 = - (Wurzel(8) / 2) das wäre schon das richtige Ergebnis
x = 1,414213562

07.09.2012, 15:52

Senas

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ich korigiere mich, die Wurzel aus 2 ( Wurzel(2) = 1,414213562) Das heißt mein Vorredner hat schon recht.

07.09.2012, 16:03

JanHN

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Zitat:

Original von M@rtin
Okay gut, was die große Wurzel angeht sind wir uns einig, die wird 0.

Im Term $\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt{8}}{2} \end{eqnarray*}$ darf man allerdings nicht das Argument in der Wurzel, also die 8, einfach mit der 2 im Nenner des Bruchs kürzen. Wurzeln und Potenzrechnung kommt in der Reihenfolge der Rechenarten noch vor Punktrechnung/Brüchen. Was Du aber machen kannst ist, die $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \end{eqnarray*}$ zur zerlegen, indem Du die 8 in eine Produkt aus einer Quadratzahl und einer anderen Zahl zerlegt und so teilweise die Wurzel ziehen kannst, danach kann man noch den Bruch vereinfachen.

Wegen dem teilweisen Wurzelziehen hier ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{48}=\sqrt{3 \cdot 16}=\sqrt{3} \quad \cdot 4 \end{eqnarray*}$ .

Mit einer ähnlichem Umformung kannst Du den Bruch auflösen.

Erstmal danke für deine Geduld mit mir smile

Also nach deinem Beispiel würde ich folgendes machen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{4\cdot 2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2\cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich die 2 im Bruch kürzen, das Minus davor und ich hab endlich
$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
Richtig?

Wenn ja, ***, wenn man sowas einfach nach langer Zeit ohne Mathe nicht sieht bzw. auch einfach nicht mehr kennt. unglücklich

Edit Equester: Vulgären Ausdruck geschwärzt.

07.09.2012, 16:13

M@rtin

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Ja das passt! Freut mich wenn ich Dir helfen konnte!

07.09.2012, 16:24

JanHN

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Oh ja, das konntest du smile

Vielen Dank!!

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