Funktion Stetigkeit

07.09.2012, 15:19	Andy2203	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion Stetigkeit Meine Frage: Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)= \begin{cases} \frac{1}{x^{2} } , \quad x > 1 \\<br /> a+bx-x^{2} , x\leq 1 <br /> \end{cases} \end{eqnarray}$ So steht die Aufgabe dort. Auch ohne Klammern bei $\begin{eqnarray} a+bx-x^{2} \end{eqnarray}$ Man bestimme a un b so, dass f stetug diefferenzierbar auf ganz R ist. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{1}{x^{2} }= \lim_{x \to 1-} a+bx-x^{2} \end{eqnarray*}$ So würde linke Seite 0 und rechts? Wären b=0 und a dann beliebig oder ist mein Ansatz schon falsch? Das kann ja nicht sein...es müssen beide beliebig sein...
07.09.2012, 15:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht nicht um die Stelle 0, denn diese ist im ersten Funktionsteil ohnehin ausgeschlossen. Vielmehr ist jene Stelle interessant, wo die beiden Definitionsintervalle zusammenhängen. Dort muss der Grenzwert existieren (und von links und rechts gleich sein) und auch die Ableitung. Funkt's jetzt? mY+
07.09.2012, 15:43	Andy2203	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1 } \frac{1}{x^{2} }= \lim_{x \to 1-} a+bx-x^{2} \end{eqnarray*}$ So müsste ich das doch dann besser schreiben oder? Ich komme aber mit der rechten Seite nicht klar.
07.09.2012, 21:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Hilfeschrei in deiner Signatur erfreut uns nicht so sehr (!) Der Grenzwert des ersten Funktionsteiles ist von rechts (und auch von links) gleich 1. Nun muss der andere Term dort ebenfalls diesen Grenzwert haben ... . Damit kann eine erste Aussage über a, b getroffen werden. Nun müssen auch die Ableitungen bei 1 übereinstimmen, daher sind auch die Ableitungen gleichsetzen, das ergibt eine zweite Gleichung. Somit können a, b eindeutig festgelegt werden. mY+
08.09.2012, 00:28	andyrue	Auf diesen Beitrag antworten »
schulmathematisch würd ich sagen: die funktion 1/x^2 verläuft durch (1/1) wenn dieser punkt zugelassen wär. die andere funktion mit a und b muss in diesem punkt den selben funktionswert und diesselbe steigung haben, damit stetigkeit und differenzierbarkeit vorliegt, andy (anmerk: ist mathematisch sehr vereinfacht formuliert)
08.09.2012, 00:42	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bringt dein Post nun Neues, Sprengmeister? Nichts anderes wurde auch vordem schon gesagt. mY+
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08.09.2012, 13:45	Andy2203	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt für die Funktionen den lim ausführen führt zu: 1= a+b1-1 2-b=a Dann die Ableitungen $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1 } - \frac{2}{x^{3} } = \lim_{x \to 1-}b-2x \end{eqnarray*}$ -2 = b-2 b = 0 Dann wäre a=2-b=2 oder wie?
08.09.2012, 19:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder wie .. oder was? a, b sind richtig, kannst du nun die zweite Funktion vollständig hinschreiben? Vergleiche diese mit dem bereits angehängten Graphen ...
10.09.2012, 08:40	Andy2203	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre ja dann einfach $\begin{eqnarray} 2-x^{2} , x \leq 1 \end{eqnarray}$ Und dann würde das mit deinem Graphen 100% passen! Ich bin happy!
10.09.2012, 13:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
mY+

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