Quadratische Gleichung mit Wurzeln lösen

07.09.2012, 23:02

JanHN

Quadratische Gleichung mit Wurzeln lösen

Ich tu mich schwer mit Wurzeln.. was habe ich für Möglichkeiten in der folgenden Gleichung? Erweitern? Zusammenführen? Wurzeln zerlegen? Ich komme nicht weiter.
Die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x^{2}+\left(3-\sqrt{3} \right)x-\sqrt{27}=0 \end{eqnarray*}$

Nach Auflösen der Klammer:

$\begin{eqnarray*} x^{2}+3-\sqrt{3}x-\sqrt{27}=0 \end{eqnarray*}$

Tjo, und jetzt? Erstaunt1

07.09.2012, 23:06

Iorek

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Auch wenn es auf den ersten Blick nicht so schön aussieht: lass die Klammer stehen. Auf $\begin{eqnarray*} x^2+(3-\sqrt 3)x-\sqrt{27}=0 \end{eqnarray*}$ kannst du nämlich direkt die pq-Formel anwenden. smile

07.09.2012, 23:16

JanHN

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Uff, okay. Also einfach reingehauen in die Formel ergibt das

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{\left(3-\sqrt{3} \right)x }{2}\pm \sqrt{\frac{\left(3-\sqrt{3} \right)^2x^2 }{4} - \sqrt{27} } \end{eqnarray*}$

Also was ich jetzt tatsächlich nur sehe ist die 3. Wurzel aus 27=3.

Und ich vermute, dass mein x² auch nicht ganz richtig ist oder?

07.09.2012, 23:19

Iorek

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Warum steht auf der rechten Seite der Gleichung überhaupt noch ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ? Die haben da nichts mehr zu suchen.

07.09.2012, 23:27

JanHN

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Ich Depp..

Also nur die Wurzel:

$\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{-\frac{9}{4}-3 } \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{-\frac{21}{4} } \end{eqnarray*}$ ?

07.09.2012, 23:33

JanHN

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Nee, falsch gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{\frac{0}{4}-3 } \end{eqnarray*}$

Also irgendwie hab ich das Gefühl, ich sollte morgen weitermachen..

07.09.2012, 23:34

Iorek

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Ich kann deine weitere Rechnung nicht nachvollziehen...wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} -\frac 94-3 \end{eqnarray*}$ ?

Nachtrag: auch wie du auf $\begin{eqnarray*} 0-3 \end{eqnarray*}$ kommst ist mir nicht ganz klar. Kann es sein, dass du bei $\begin{eqnarray*} (3-\sqrt 3)^2 \end{eqnarray*}$ die binomische Formel übersiehst?

07.09.2012, 23:44

JanHN

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Ehrlich gesagt habe ich die nicht übersehen.

Dummerweise hat mein tolles Brückenkursbuch hier grad einen Sprung gemacht und ich hab sowas bestimmt 10 Jahre nicht mehr gemacht.
Wie löse ich eine binomische Formel mit einer Wurzel?
Da hängts schon unglücklich

$\begin{eqnarray*} \left(3-\sqrt{3} \right)\cdot \left(3-\sqrt{3} \right) \end{eqnarray*}$

08.09.2012, 00:05

JanHN

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Danke Iorek bis hierhin, morgen bin ich vielleicht mit klarerem Geiste am Werke.
Bin jetzt offline.

08.09.2012, 14:39

thk

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Zitat:

Original von Iorek
Auch wenn es auf den ersten Blick nicht so schön aussieht: lass die Klammer stehen. Auf $\begin{eqnarray*} x^2+(3-\sqrt 3)x-\sqrt{27}=0 \end{eqnarray*}$ kannst du nämlich direkt die pq-Formel anwenden. smile

Hallo zusammen,
die pq-Formel soll hier sicher nicht verwendet werden, denn man müsste nach allerlei Umformungen noch das nichtlineare GS lösen für die Umformung $\begin{eqnarray*} \sqrt{4+2\cdot \sqrt{3} } = 1+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , die man ansonsten auch nur mit viel Routine sieht.

Hier wird wohl auf den VIETAschen Wurzelsatz angespielt, der nach der Umformung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{27} \end{eqnarray*}$ sofort ins Auge sticht und keine weitere Rechnung mehr erfordert smile

LG nach langer Abstinenz

10.09.2012, 10:36

JanHN

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Tatsächlich ist die Aufgabe gemäß dem Buch für die pq-Formel bestimmt.

Meine Schwierigkeit liegt sowohl in der Berechnung des Zählers vor dem +- sowie der binomischen Formel.

$\begin{eqnarray*} \left(3-\sqrt{3} \right)\ ^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{\left(3-\sqrt{3} \right) }{2}\pm \sqrt{\frac{\left(3-\sqrt{3} \right)^2}{4} - \sqrt{27} } \end{eqnarray*}$

Bin für jede Hilfe dankbar Augenzwinkern

10.09.2012, 10:43

klarsoweit

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Wenn du dir die pq-Formel genau anschaust, wirst du feststellen, daß du 2 Vorzeichenfehler eingebaut hast.

Ansonsten: wo ist das Problem mit der binomischen Formel? verwirrt

10.09.2012, 10:59

JanHN

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Stimmt, ok, neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=-\frac{\left(3-\sqrt{3} \right) }{2}\pm \sqrt{\frac{\left(3-\sqrt{3} \right)^2}{4} + \sqrt{27} } \end{eqnarray*}$

Also jut, die binomische Formel ausgeschrieben wäre doch
$\begin{eqnarray*} \left(3-\sqrt{3} \right)\ \cdot \left(3-\sqrt{3} \right)\ \end{eqnarray*}$

Wie berechne ich z.B. $\begin{eqnarray*} 3 \cdot -\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ = ?

10.09.2012, 11:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von JanHN
Also jut, die binomische Formel ausgeschrieben wäre doch
$\begin{eqnarray*} \left(3-\sqrt{3} \right)\ \cdot \left(3-\sqrt{3} \right)\ \end{eqnarray*}$

Nun ja. Das ist eher das Ausmultiplitzieren von 2 Klammern mit Distributivgesetz. Das geht auch, hat aber mit der binomischen Formel nur noch am Rande zu tun.

Zitat:

Original von JanHN
Wie berechne ich z.B. $\begin{eqnarray*} 3 \cdot -\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ = ?

Wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} -3 \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ? Anders gesagt: viel geht da nicht mehr.

Im übrigen solltest du erkennen, daß $\begin{eqnarray*} \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3 \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ ist. smile

10.09.2012, 13:23

JanHN

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Oki, ich schütte jetzt mal meine merkwürdigen Gedanken hier aus.
Ich löse die binomische Formel in
$\begin{eqnarray*} 9-6\sqrt{3}+3 \end{eqnarray*}$
Richtig? Falsch? Daemlich falsch? smile

Ich tu mich bei der Aufgabe merkwürdig schwer..

10.09.2012, 13:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von JanHN
Ich löse die binomische Formel in
$\begin{eqnarray*} 9-6\sqrt{3}+3 \end{eqnarray*}$

100% richtig. Freude

10.09.2012, 21:35

thk

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Zitat:

Original von JanHN
Tatsächlich ist die Aufgabe gemäß dem Buch für die pq-Formel bestimmt.

Sicher?? Der Erfinder dieser Aufgabe hatte aber ziemlich sicher den Wurzelsatz im Kopf:

$\begin{eqnarray*} x^2+(3-\sqrt{3})\cdot x-3\cdot \sqrt{3}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p=3-\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -p=-3+\sqrt{3} = x_1+x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q=-3\cdot\sqrt{3} = x_1\cdot x_2 \end{eqnarray*}$

Mit pq ist es nämlich ein verhältnismäßig schwieriger Weg, selbst nach der Umformung
$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = \frac{\sqrt{3}-3}{2}\pm \frac{\sqrt{12+6\cdot \sqrt{3}}}{2} \end{eqnarray*}$
musst du noch mal gehörig in die Trickkiste greifen bzw. mit einem Gleichungssystem nachlegen (s.o.)
Na egal, hab Spaß Augenzwinkern

11.09.2012, 14:26

JanHN

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Nee du, die Aufgabe macht mir keinen Spaß unglücklich

Und doch, so glaube ich, habe ich sie nun endlich lösen können; mit pq-Formel.
Das ist ein Brückenkursbuch, doch der Sprung ins fiese war ein bisschen zu groß bei der Aufgabe.

Wegen des Seitenumbruchs hier nochmal kurz die Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} x^{2}+\left(3-\sqrt{3} \right)x-\sqrt{27}=0 \end{eqnarray*}$

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} x1/2= - \frac{\left(3-\sqrt{3} \right) }{2} \pm \sqrt{\frac{12-6\sqrt{3}+ 12\sqrt{3} }{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1/2= - \frac{\left(3-\sqrt{3} \right) }{2} \pm \sqrt{\frac{12+6\sqrt{3} }{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1/2= - \frac{\left(3-\sqrt{3} \right) }{2} \pm \sqrt{\frac{\left(3+\sqrt{3}\right)^{2} }{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1/2= - \frac{\left(3-\sqrt{3} \right) }{2} \pm \frac{\left(3+\sqrt{3}\right) }{2} \end{eqnarray*}$

Und dann endlich, halleluja, die Lösungen: $\begin{eqnarray*} x_{1}=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2}=-3 \end{eqnarray*}$

Danke an alle Helfer. smile

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