Schnittgerade Ebene - Ebene

08.09.2012, 00:11

hu.Tez

Schnittgerade Ebene - Ebene

Meine Frage:
Hallo Leute, es geht um folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lage der beiden Ebenen und bestimmen Sie gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgeraden:
$\begin{eqnarray*} E1: \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E2: \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zu meinem Problem:
In den Lösungen des Buches steht, dass die beiden Geraden parallel zueinander sind, sind sie aber (glaube ich) nicht.
Außerdem haben ich und ein Programm zwei verschiedene Geradengleichungen raus... Ich würde gerne von euch wissen, welche Lösung nun richtig ist.

Meine Ideen:
Meine Lösung:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -12 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Lösung des Programms:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -17 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} -11.2 \\ 2 \\ 4.4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Lösung des Buches:
Keine Schnittgerade, da die Ebenen parallel zu einander sind.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, bin langsam schon am verzweifeln...

08.09.2012, 00:15

mYthos

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Die Angabe krankt von Vornherein bereits daran, dass für beide Ebenen dieselben Parameter verwendet wurden. Das ist NICHT zulässig (!)

WIE (mit welcher Methode) hast du festgestellt, dass die Ebenen nicht parallel sind? Das stimmt übrigens.

mY+

08.09.2012, 00:21

Bjoern1982

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Zitat:

Meine Lösung: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -12 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das stimmt.

08.09.2012, 00:26

hu.Tez

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Hallo,
mir ist schon klar, dass die Parameter der Ebenen unterschiedlich sind, dies habe ich bei der Rechnung auch beachtet. Hier mal meine komplette Rechnung:
$\begin{eqnarray*} E1: \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E2: \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + u*\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Umformen von E2 in die Koordinatenform:
$\begin{eqnarray*} E2: -4x_{1} +4x_{x}-12x_{3} = -16 \end{eqnarray*}$

2. Einsetzen von E1 in E2:
$\begin{eqnarray*} -4*(8-4r+5s)+4r-12*(2+r-s) = -16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> r = 5+s \end{eqnarray*}$

3. Einsetzen von r in E1:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + (5+s) *\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} 5\\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

4. Vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -12 \\ 5\\ 7 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sehe gerade, dass Bjoern1982 geantwortet hat: Vielen Dank ! Dann ist das Programm wahrscheinlich fehlerhaft, obwohl es mich bisher nie im stich gelassen hat...

Danke euch beiden !

08.09.2012, 00:34

mYthos

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z = 7 ist zwingend, das ergibt sich aus dem Gleichsetzen der beiden Normalgleichungen. Daraus ergibt sich mit x = v ein Stützpunkt (0; 17; 7) und die Gleichung der Geraden als

$\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 17 \\ 7 \end{pmatrix} + v*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bitte IMMER unterschiedliche Parameter verwenden. r oder s in der Geradengleichung sind nicht statthaft, wenn sie schon wo anders verwendet wurden.

Ausserdem ist deine Lösung noch unvollständig, links fehlt der Vektor x und das Gleichheitszeichen! Dein anderer Stützpunkt stimmt auch, weil er ebenfalls auf der Geraden liegt.

mY+

08.09.2012, 10:39

hu.Tez

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Jetzt bin ich aber verwirrt... Welche Lösung ist denn nun richtig? Bei meiner Rechnung habe ich doch garkeinen Fehler gemacht, ich habe das 5 mal nachgerechnet und kam immer auf dasselbe Ergebnis...

08.09.2012, 10:42

hu.Tez

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Achso !

Jetzt hab' ich es verstanden. Beide Lösungen sind richtig, danke dir !

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