Integral ln(x)/x Stammfunktion

08.09.2012, 21:01

furi0us

Integral ln(x)/x Stammfunktion

Hey Leute,
ich suche die Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} \frac{\ln x}{x} \end{eqnarray*}$
Ansätze:
-Partielle Integration (hat gar nicht funktioniert)
-Substitution

Jetzt habe ich das Problem, dass ich weder eine Polynomdivision, noch sonstige von x-erlösende Lösungsverfahren nehmen kann. Ich kann also immer nur eine der 2 Bruchteile substituieren. Wie gehe ich das jetzt an, dass ich alle x herausbekomme und nach d(t) ableite

08.09.2012, 21:04

Mulder

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RE: Integral ln(x)/x Stammfunktion
Partielle Integration klappt durchaus (man kann die "Gleichung" dann nach dem Integral auflösen).

Substitution geht auch. Die Ableitung von ln(x) kennst du? Schreib es doch mal so:

$\begin{eqnarray*} \int \ln(x) \cdot \frac 1 x \, \dd x \end{eqnarray*}$

08.09.2012, 21:40

furi0us

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$\begin{eqnarray*} \int \ln (x) \cdot \frac 1 x\,\dd x \end{eqnarray*}$

Soweit hatte ich es schon. Dann über die Partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{u}\left( x\right) =\mathrm{ln}\left( x\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathrm{u'}\left( x\right) =\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathrm{v}\left( x\right) = \mathrm{ln} \left( x\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathrm{v'}\left( x\right) =\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Dann die Formel:
$\begin{eqnarray*} \mathrm{u}\left( x\right) \cdot \mathrm{v}\left( x\right) - \int \mathrm{v}\left( x\right) \cdot \mathrm{u'}\left( x\right)\dd x \end{eqnarray*}$

Ich setzte ein:

$\begin{eqnarray*} {\ln}^{2}(x) - \int \frac {\ln(x)}{x} \dd x \end{eqnarray*}$

Womit ich wieder am Anfang gewesen bin

08.09.2012, 21:42

Mulder

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Du hast jetzt

$\begin{eqnarray*} \int \frac {\ln(x)}{x} \, \dd x = {\ln}^{2}(x) - \int \frac {\ln(x)}{x} \, \dd x \end{eqnarray*}$

Wie ich oben schon sagte: Löse diese Gleichung einfach nach dem Integral auf und fertig.

08.09.2012, 21:48

furi0us

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Ich verstehe deinen Ansatz nicht? Einfach nach dem Integral auflösen? Ich habe eine Multiplikation.
Edit: Achso, ich hab das nicht als Gleichung gesehn, Danke hat funktioniert

08.09.2012, 21:49

Mulder

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Du hast eine Gleichung vom Typ

$\begin{eqnarray*} A=B-A \end{eqnarray*}$

Wenn du das nach A auflösen willst, wie machst du das?

Hier in diesem Fall ist das A eben ein ganzes Integral, aber das ist doch völlig egal.

08.09.2012, 23:24

furi0us

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Gut, jetzt hab ich es über partielle Integration gelöst. Da der Lerneffekt erweitert werden soll, will ich es noch über Substitution versuchen.
Also, ich habe:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{F}\left( x\right) = \int \frac{\mathrm{log}\left( x\right) }{x}\dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t = \ln (x) \end{eqnarray*}$

Mein Verständnisproblem liegt darin, dass ich jetzt 2 Variablen habe.

Ich kann einfach sagen dx = dt / t

Damit wieder zu meinem Integral

$\begin{eqnarray*} \mathrm{F}\left( x\right) = \int \frac{t}{x}\cdot\frac{\dd t}{t} \end{eqnarray*}$

Und jetzt kenne ich mich gar nicht mehr aus. Wie mache ich weiter?

08.09.2012, 23:29

Mulder

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Aus

$\begin{eqnarray*} t = \ln(x) \end{eqnarray*}$

und daher

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd t}{\dd x} = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} \dd x = x \, \dd t \end{eqnarray*}$

Übrigens halte ich diese Schreibweise

$\begin{eqnarray*} \mathrm{F}\left( x\right) = \int \frac{t}{x}\cdot\frac{\dd t}{t} \end{eqnarray*}$

für sehr problematisch. Links ist die Variable x, aber rechts (also beim Integral) hast du eigentlich schon längst die neue Variable t eingeführt (nur halt falsch bisher). Das passt nicht beieinander.

08.09.2012, 23:48

furi0us

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Aber dann komme ich immer noch nicht bei der Gleichung weiter.

$\begin{eqnarray*} \mathrm{F}\left(x\right)=\int\frac{t}{x}\cdot t \cdot \dd t \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt immer noch 2 Variablen, mit denen ich nicht umgehen kann...
(also genau weil du es problematisch findest, kenne ich mich net aus...)

09.09.2012, 00:01

Mulder

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Ich hab doch

$\begin{eqnarray*} \dd x = x \, \dd t \end{eqnarray*}$

geschrieben! Nicht

$\begin{eqnarray*} \dd x = t \, \dd t \end{eqnarray*}$

Folglich landet man bei

$\begin{eqnarray*} \int \frac{t}{x} \, x \, \dd t \end{eqnarray*}$

Und da kürzt sich jetzt jedes x raus und das Integrieren ist dann ganz leicht.

09.09.2012, 00:35

Che Netzer

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@Mulder:

Zitat:

Original von Mulder
Übrigens halte ich diese Schreibweise

$\begin{eqnarray*} \mathrm{F}\left( x\right) = \int \frac{t}{x}\cdot\frac{\dd t}{t} \end{eqnarray*}$

für sehr problematisch. Links ist die Variable x, aber rechts (also beim Integral) hast du eigentlich schon längst die neue Variable t eingeführt (nur halt falsch bisher). Das passt nicht beieinander.

Ist doch richtig so.
Wenn man in $\begin{eqnarray*} g(x)=\ln x \end{eqnarray*}$ die Substitution $\begin{eqnarray*} t=\ln x \end{eqnarray*}$ durchführen würde, hätte man ja auch $\begin{eqnarray*} g(x)=t \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} g(t)=t \end{eqnarray*}$ .
Oder meintest du, dass $\begin{eqnarray*} t=t(x) \end{eqnarray*}$ nicht deutlich wird? verwirrt

PS: Wenn ich schonmal kurz hier vorbeigeschaut habe:
Man könnte auch einfach die Form $\begin{eqnarray*} f(x)\cdot f'(x) \end{eqnarray*}$ des Integranden erkannt haben.
Das nur zum Stichwort "Lerneffekt", bin auch wieder weg hier Wink

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