Partielle Ableitungen bestimmen

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08.09.2012, 21:55	stealth_mx	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Ableitungen bestimmen Hallo zusammen ich habe gedanklich Probleme die Folgende Gleichung auf die partiellen Ableitungen und Stetigkeit zu analysieren. Ges: 1 und zweite partielle Ableitung und in welchem Bereich sie stetig sind. $\begin{eqnarray} f:=\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \mapsto \begin{cases} x^2y & x>0 \\ -x^2y & x \leq 0 \end{cases} \end{eqnarray}$ Ich habe ganz normal abgeleitet (erste Ableitung nach x) und mit den Differenzenquotienten (x=+/-0, y) die Grenzwerte betrachtet es kam raus, dass beide 0 sind. Ist es aussreichen um zu sagen das die erste partielle Ableitung stetig aur R^2 ist? Oder gibt es dort noch einen Fall? Jetzt müsste ich doch noch nach y ableiten?! Dort weiß ich aber nicht was ich mit der Ableitung machen muss. $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \begin{cases} x^2 & x>0 \\ -x^2 & x \leq 0 \end{cases} \end{eqnarray}$
09.09.2012, 00:22	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle Ableitungen bestimmen Hallo, mal sehen, ob ich das richtig verstanden habe: Du hast $\begin{eqnarray} \partial_xf(x,y) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ (ganz normal mit Ableitungsregeln) berechnet, dann $\begin{eqnarray} \partial_xf(0,y) \end{eqnarray}$ mit dem Differenzenquotienten/der Definition partieller Ableitungen und dann hast du überprüft ob die Grenzwerte mit letzterem Ausdruck übereinstimmen? Wenn ja: Richtig so. Damit hast du dann also die Stetigkeit von $\begin{eqnarray} \partial_xf \end{eqnarray}$ nachgewiesen, für $\begin{eqnarray} \partial_yf \end{eqnarray}$ kannst du genauso vorgehen. Die Fallunterscheidung kannst du so aber zunächst nur für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ aufstellen. Auf der "Grenzlinie" $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ nimmst du wieder den Differentialquotienten, dürfte aber nicht sehr anstrengend sein. Und analog gehst du dann noch für $\begin{eqnarray} \partial_{xx}f \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \partial_{yy}f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \partial_{xy}f \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \partial_{yx}f \end{eqnarray}$ vor. mfg, Ché Netzer PS: Statt := gehört an diese Stelle übrigens \colon: $\begin{eqnarray} f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R\,. \end{eqnarray}$
09.09.2012, 18:04	stealth_mx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und genau da fängt mein gedankliches Problem an. Ich habe nach x abgeleitet und durch den Grenzwert angeguckt wie sich x+/- auf der Y-Achse verhält. Es kam raus, dass die partielle Ableitung für x stetig ist. Das kann ich mir auch grafisch vorstellen ich schiebe die ,,Geraden" gegen x = 0 von beiden Seiten. Geraden, da y ja beliebig ist. Was genau passiert denn mit dem Grenzwert von y? Wozu ist er gut? Gegen was muss er gehen?
09.09.2012, 18:23	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du bildest einfach die Funktion $\begin{eqnarray} \partial_yf(x,y) \end{eqnarray}$ und untersuchst die ganz normal auf Stetigkeit. Dabei ist dann nur der Fall $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ interessant.
09.09.2012, 18:48	stealth_mx	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry für mein Verständnisproblem aber warum ist denn x=0 interessant? Irgendwie geht mir das nicht hervor?
09.09.2012, 18:51	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil wir wissen, dass $\begin{eqnarray} x^2y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -x^2y \end{eqnarray}$ (stetig) differenziarbar sind.
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09.09.2012, 18:57	stealth_mx	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial y} (0,y) = \lim\limits_{h \rightarrow \infty}{\frac{f(0,h)-f(0,y)}{h}} = 0 \end{eqnarray}$ Aber so ist doch der Grenzwert irgendwie falsch ich schiebe jetzt ja y gegen null. Wenn x nicht stetig wäre so könnte ich ja auch nicht x = 0 setzen somit auch nicht den $\begin{eqnarray} \partial_{y} f \end{eqnarray}$ bestimmen oder?
09.09.2012, 19:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Es müsste zwar $\begin{eqnarray} f(0,y+h) \end{eqnarray}$ heißen, aber sonst passt es doch. Wo ist das Problem?
09.09.2012, 19:02	stealth_mx	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum machst du y+h?
09.09.2012, 19:49	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil du ja die Ableitung an der Stelle $\begin{eqnarray} (0,y) \end{eqnarray}$ bestimmen willst und nicht bei $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ .
09.09.2012, 20:07	stealth_mx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach stimmt danke schön, analog gehe ich bei der zweiten Ableitung vor. Danke danke

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