Komplexes Integral

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Bibolo Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexes Integral
Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich verzweifle hier an einer Funktion:



1) Ich soll die Laurententwicklung von f(z) auf |z|<2 und |z|>2 finden.
2) Ich soll das folgende Integral berechnen:


Mein Problem: Der Koeffizientenvergleich in 1) funktioniert nicht bzw. es kommt nichts schlaues dabei raus, so dass ich die Reihe entwickeln könnte.
2) Kann ich hier mit dem Residuensatz vorgehen oder ist der Cauchysche Integralsatz geeigneter?

Meine Ideen:
1)
Das habe ich für diverse A's ausprobiert. Aber dann erhalte ich im Nenner von B immer und dann bin ich wieder gleich weit.
Anderer Ansatz: Ich argumentiere, dass je bereits eine Laurentreihe sind (leider noch multiplikativ verknüpft und unter dem Bruchstrick...). Funktioniert hier der Koeffizientenvergleich überhaupt?

2) Funktioniert hier der Residuensatz überhaupt? Denn in unserer Definition sind die Integralgrenzen , hier aber -3 und 3. Deshalb möchte ich gerne den Cauchyschen Integralsatz anwenden. Leider verstehe ich diesen nicht ganz.
Ich hätte jetzt definiert, wobei z=2 ist. Also:
Muss ich dann mein f(q) einmal ableiten und mal [latex] 2i\pi [\latex] rechnen?
Hoffe jemand kann mir weiterhelfen!

Liebe Grüsse
Bibolo
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexes Integral
Hallo,

eine Partialbruchzerlegung ist schonmal ein guter Anfang.
Da sollst du aber keine ausprobieren, sondern berechnen. Mit Koeffizientenvergleich, Zuhaltemethode oder sonstwie.

Und momentan ist ganz sicher keine Laurent-Reihe. Immerhin hat man und dort zu stehen, es soll aber nur einen Entwicklungspunkt geben und der ist Null.

Das Stichwort "geometrische Reihe" könnte hier helfen.

Zu 2.:
Was hattet ihr denn da für eine Definition? Ging es um reelle Integrale? Das ist dann nicht der eigentliche Residuensatz.
Hier integrieren wir jedenfalls auf einem Kreisring mit Radius Drei um den Nullpunkt (gegen den Uhrzeigersinn).
Damit wäre der Residuensaz anwendbar, die benötigten Residuen berechnet man in a).

Die Cauchysche Integralformel kannst du hier allerdings nicht anwenden, immerhin hat die Funktion ja zwei Polstellen. Du könntest höchstens das Integral in zwei Integrale aufspalten, das würde aber dem Residuensatz entsprechen.

mfg,
Ché Netzer
Bibolo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ché Netzer

1) Mir war nicht ganz klar, dass der Entwicklungspunkt 0 ist. Ich wollte die Reihe zuerst über 2 entwickeln. Trotzdem komme ich noch nicht wirklich weiter, denn mit Koeffizientenvergleich komme ich bis hier:


Wähle A=1:

Also:

Daraus folgt:


Eine geometrische Reihe zu entwickeln ist dann (glaube/hoffe ich) nicht mein Problem, jedoch auf die Form zu kommen, damit ich die Funktion mit Hilfe von |z|<2 bzw. |z|>2 und durch die Umwandlung des Nenners in eine geometrische Reihe umformen kann, ist schon eher mein Problem (zumindest so, dass 0 der Entwicklungspunkt wäre).

2) Es geht um komplexe Integrale. Die Definition war dabei wie folgt:


Ich weiss jetzt nicht, ob ich das hier anwenden darf, da meine Integralgrenzen -3 und 3 sind?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bibolo
Wähle A=1:

Wie kommst du denn darauf? Bei der Partialbruchzerlegung wählt man doch nicht einfach so einen Koeffizienten.
Führ das nochmal vernünftig durch.

Zu 2):
Das ist nur eine Anwendung des Residuensatzes; wie habt ihr den Residuensatz denn allgemein formuliert?
Bibolo Auf diesen Beitrag antworten »

1) Ah natürlich, ich hab das nochmals versucht:



Durch Koeffizientenvergleich gilt:
A+B=0 und 2B-2A=1, also
Daraus folgt, dass B=1/4 und A=-1/4 ist.

Dann lautet meine Funktion wie folgt:

Betrachte wobei -z-1 kleiner als 1 ist, falls |z|<2. Mein Problem: Würde ich das nun als geometrische Reihe schreiben, wäre der Entwicklungspunkt 1 und nicht 0 (sofern ich das nicht falsch verstanden habe).

Was mache ich falsch?

Danke für deine Hilfe!

2) Allgemein formuliert:


Die Umlaufzahl wäre hier doch = 1 oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Die Partialbruchzerlegung sieht schon besser aus
Zitat:
Original von Bibolo

Hier könntest du aber auch einfach und eingeben.

Zitat:
wobei -z-1 kleiner als 1 ist, falls |z|<2.

Stimmt nicht, z.B. für .
Zieh lieber noch eine Zwei aus dem Nenner.

Der Rest stimmt. Und ja, die Umlaufzahl ist Eins.
 
 
Bibolo Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ich glaub jetzt hab ichs raus. Es wäre eigentlich gar nicht nötig gewesen, die Partialbruchzerlegung zu machen. Denn ich kann einfach ausklammern, dann kann ich auch die Laurentreihe um den Punkt 0 entwickeln.

Bekommen habe ich folgendes:

Damit dasteht (da Res(f; z)= an für n= -1), muss n=-1/2 sein. Setze ich dies in den Rest ein, dann erhalte ich für das eine Residuum. Das andere gibt dann 2.

2) Das Integral ist dann die Summe der Residuen mit multipliziert, also

Stimmt das?

Liebe Grüsse
Bibolo
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Die Partialbruchzerlegung wäre für Aufgabe 2 vielleicht noch sinnvoll.

Ich glaube, ich will gar nicht wissen, was du da gerechnet hast, ist keine natürliche oder ganze Zahl. Und woher kommt dieses "andere Residuum"?

Naja, Entweder arbeitest du mit Partialbruchzerlegung oder du ziehst eine aus dem Nenner.
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