Bruchterm x in Zähler und Nenner

09.09.2012, 14:34

DefconZero

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Bruchterm x in Zähler und Nenner

Hallo, ich brüte über folgendem Bruchterm und komm nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x-3}-3\frac{(5x-18)}{3-x}=22\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Anzugeben ist die Lösungsmenge und die Definitionsmenge

ich bin wie folgt vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x-3}-3\frac{(5x-18)}{3-x}=11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x-3}-\frac{15x+54}{3-x}=11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+1-\frac{15x^{2}+54-45x-162}{3-x}=11x-33 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x+3-x^{2}-x-15x^{2}+54-45x-162=33x-99-11x^{2}+33x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -43x-105-16x^{2}=66x-99-11x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -43x-105-5x^{2}=66x-99 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -43x-5x^{2}=66x+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -109x-5x^{2}=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 109x+5x^{2}=-6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(109+5x)=-6 \end{eqnarray*}$

Wo muss ich denn ansetzen um weiterzukommen? Wie bekomm ich die 109 aus der Klammer?

09.09.2012, 14:37

Monoid

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RE: Bruchterm x in Zähler und Nenner
Ab: ich bin wie folgt vorgegangen, ist in der 2. Zeile das r einmultiplieren von 3 nicht ganz richtig, es müstte -54 und nicht +54 heißen.

Mmm

09.09.2012, 14:41

Equester

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Zusätzlicher Hinweis.

$\begin{eqnarray*} -\frac{a}{3-x}=+\frac{a}{x-3} \end{eqnarray*}$

Da brauchts dann keine Monsterrechnung, wie bei dir der Fall smile

smile

.

P.S.:
$\begin{eqnarray*} 22\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist übrigens keine schöne Darstellung. Kann auch als gemischter Bruch
verstanden werden also 22,5. -> Besser $\begin{eqnarray*} 22\cdot\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.09.2012, 14:56

DefconZero

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Zitat:

Original von Equester

$\begin{eqnarray*} 22\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist übrigens keine schöne Darstellung. Kann auch als gemischter Bruch
verstanden werden also 22,5. -> Besser $\begin{eqnarray*} 22\cdot\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das haben wir unserem Mathedozenten auch vorgehalten! Er ist jedoch der Meinung dass die Schreibweise korrekt und unmissverständlich ist.

09.09.2012, 15:00

Equester

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Hi Defcon,
das war nur ein P.S. und wollte nur anmerken, dass das missverstanden werden kann.
Eine Randnotiz. Dass ihr das sogar besprochen hattet, wusste ich nicht.
Zumal ich es als "unschön" und nicht als "falsch" bezeichnet hatte.

Aber es geht ja um die eigentliche Aufgabe. Bist du da vorangekommen?
Hast du den Fehler von Mmm angemerkt, korrigiert? Meinen Tipp umgesetzt? Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.09.2012, 15:13

DefconZero

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also folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+3}{x-3}+\frac{15x-54}{x-3}=11 \end{eqnarray*}$

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09.09.2012, 15:18

DefconZero

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$\begin{eqnarray*} \frac{x+3+15x-54}{x-3}=11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{16x-51}{x-3}=11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16x^{2}-51x-48x+153=11x-33 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 11x=16x^{2}-99x+186 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 110x=16x^{2}+186 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 110x-16x^{2}=186 \end{eqnarray*}$

09.09.2012, 15:22

Equester

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$\begin{eqnarray*} \frac{x+\color{red}3\color{black}+15x-54}{x-3}=11 \end{eqnarray*}$

Da kommt ne 1 hin.

Wie hast du denn mit (x-3) multipliziert? Links steht doch dann da:

$\begin{eqnarray*} \frac{16x-53}{x-3}*(x-3)=16x-53 \end{eqnarray*}$

Oder warum streichst du denn Nenner und multiplizierst dann das noch mit dem Zähler? Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.09.2012, 15:29

DefconZero

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Hammer

hab ich auch schon festgestellt... aber ich bin nicht so schnell weil die Seite bei mir teilweise nicht lädt verwirrt

verwirrt

09.09.2012, 15:32

Equester

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Abgesehen davon, dass Schnelligkeit nicht nötig ist...
ich habe kein Problem mit dem Laden der Seite?
Lädt nur matheboard.de so langsam, oder auch anderes?

09.09.2012, 15:35

DefconZero

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$\begin{eqnarray*} \frac{x+1+15x-54}{x-3}=11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{16x-53}{x-3}=11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16x-53=11x-33 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5x=20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=4 \end{eqnarray*}$

09.09.2012, 15:40

Equester

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So passt das Freude

Freude

.
Die Definitionsmenge hast du schon bestimmt?

09.09.2012, 15:43

DefconZero

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Zitat:

Original von Equester
Abgesehen davon, dass Schnelligkeit nicht nötig ist...
ich habe kein Problem mit dem Laden der Seite?
Lädt nur matheboard.de so langsam, oder auch anderes?

Es ist nur matheboard was lahmt...

€: Ich habe gerade versucht diese Antwort zu posten und nach gefühlt einer Minute abgebrochen und dies noch hinzugefügt.

09.09.2012, 15:45

Equester

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Für die technische Frage/den technischen Hinweis kannst du gerne hier posten:
http://www.matheboard.de/board.php?boardid=24

Ich bleibe beim mathematischen Beantworten deiner Fragen :P.

-> Definitionsmengenbestimmung war kein Problem?

09.09.2012, 15:47

DefconZero

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Nein, da habe ich noch keinen rechten Denkansatz...

09.09.2012, 15:48

Equester

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Dann verrate mir mal, was du unter Definitionsmenge verstehst.
Vllt fällt dir dann doch ein Ansatz ein, wie man da rangeht.

09.09.2012, 17:24

DefconZero

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Ich habe als Definitionsmenge festgelegt:

D = R \ {3}

09.09.2012, 17:29

Equester

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Das ist richtig Freude

Freude

.

09.09.2012, 17:32

DefconZero

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neue Gleichung
folgende Gleichung bereitet mir auch Schwierigkeiten

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{4x} + \frac{4-x}{5} = \frac{-2}{x} \end{eqnarray*}$

Da gibt es doch sicher auch wieder einen Kniff um das ganze zu vereinfachen um einen gleichen Nenner zu erhalten!

Wie nennt sich eigentlich obige Rechenregel, die da lautet:

$\begin{eqnarray*} - \frac{a}{3-x} = \frac{a}{x-3} \end{eqnarray*}$ ?

09.09.2012, 17:38

Equester

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Hier sehe ich jetzt keinen Spezialtrick, wie man ihn gerade hat verwenden können Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Was würdest du denn spontan für einen Hauptnenner erkennen?

Wird wahrscheinlich das Distributivgesetz sein verwirrt

verwirrt

:
$\begin{eqnarray*} - \frac{a}{3-x} = \frac{a}{-1(3-x)}=\frac{a}{x-3} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

( a(b+c)=ab+ac )

(Und dann natürlich das Kommutativgesetz zum Vertauschen der Summanden...)

09.09.2012, 20:39

DefconZero

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läuft der Term denn wohl auf eine quadratische Gleichung hinaus?

09.09.2012, 20:42

Equester

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Die Vermutung kann ich dir bestätigen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Auf was kommst du denn? Das Ergebnis ist nicht sonderlich schön :P.

09.09.2012, 20:49

DefconZero

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$\begin{eqnarray*} \frac{3x+1}{4x} + \frac{4-x}{5} = \frac{-2}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3x+1}{4x} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4-x}{5} \cdot \frac{4x}{4x} = \frac{-2}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{15x+5+16x-5x}{20x}=\frac{-2}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{26x+5}{20x} = \frac{-2}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{26x^{2} +5x}{20} = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 26x^{2} +5x +40 = 0 \end{eqnarray*}$

09.09.2012, 20:54

Equester

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$\begin{eqnarray*} \frac{15x+5+16x-\color{red}5x\color{black}}{20x}=\frac{-2}{x} \end{eqnarray*}$

Was ist nochmals -4x*x? Sicher nicht -5x

---------------------------
$\begin{eqnarray*} \frac{26x+5}{20x} = \frac{-2}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{26x^{2} +5x}{20} = -2 \end{eqnarray*}$

Gleicher Fehler wie vorher. Du multiplizierst mit x und streichst links nicht nur den
Nenner sondern verarbeitest das auch noch mit dem Zähler. Rechts ists richtig
gehandhabt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

09.09.2012, 21:39

DefconZero

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$\begin{eqnarray*} \frac{15x+5+16x-4x^{2} }{20x}=\frac{-2}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{15x+5+16x-4x^{2} }{20}=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{31x+5-4x^{2} }{20}=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 31x+5-4x^{2}=-40 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4x^{2}+31x+45=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}-7,75x-11,25=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p=-7,75; q=-11,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = \frac{7,75}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-7,75}{2} \right) ^{2} +11,25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = \frac{7,75}{2} \pm \sqrt{26,27} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} = 3,875 + 5,125 = 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2} = 3,875 - 5,125 = -1,25 \end{eqnarray*}$

09.09.2012, 22:13

DefconZero

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Definitionsmenge:

D = R \ {0}

09.09.2012, 22:56

DefconZero

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Normalerweise sollte man doch eine Probe machen können, und für x jeweils einmal $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ eingeben können und beide Rechnungen sollte eine wahre Aussage wiedergeben, oder nicht?

Für $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ ist die Aussage wahr, für $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ jedoch nicht.

Bedeutet dies für die Definitionsmenge: D = R \ {0;-1,25} ?
Oder liegt mein Fehler wo ganz anders?

09.09.2012, 23:09

Equester

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Erst einmal ergeben sich ja nun doch schöne Werte, da wir auf einmal en 3x+1, statt ein x+1
haben^^. Die Ergebnisse sind richtig.

Du wirst nur einen Fehler bei der Probe gemacht haben. Rechne es nochmals nach smile

smile

.

10.09.2012, 15:12

DefconZero

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also kommen wir zur Probe, wir setzen ein:

$\begin{eqnarray*} x_{1} = 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3\cdot 9+1}{4\cdot 9} + \frac{4-9}{5} = \frac{-2}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{28}{36} + \frac{-5}{5} = \frac{-2}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{7}{9} - 1 = \frac{-2}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{9} = \frac{-2}{9} \end{eqnarray*}$

Damit ist bewießen $\begin{eqnarray*} x_{1} = 9 \end{eqnarray*}$ ist wahr.

$\begin{eqnarray*} x_{2} = -1,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3\cdot (-1,25)+1}{4\cdot (-1,25)} + \frac{4+1,25}{5} = \frac{-2}{- 1,25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-2,75}{-5} + \frac{5,25}{5} = \frac{-2}{- 1,25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-2,75}{-5} \cdot \frac{-1}{-1} + \frac{5,25}{5} = \frac{-2}{- 1,25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2,75}{5} + \frac{5,25}{5} = \frac{-2}{- 1,25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{5} = \frac{-2}{- 1,25} \end{eqnarray*}$

Damit ist bewießen $\begin{eqnarray*} x_{2} = -1,25 \end{eqnarray*}$ ist nicht wahr.

10.09.2012, 19:42

Equester

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$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{-1,25}=\frac{2}{\frac{5}{4}}=\frac{8}{5} \end{eqnarray*}$

Und damit dein "Beweis" hinfällitg Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

10.09.2012, 20:34

DefconZero

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Hammer

ja klar...

Danke smile

smile

10.09.2012, 20:37

Equester

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Gerne

smile

.

Wink

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