Körpererweiterungen; algebarischer Zahlkörper

09.09.2012, 13:43

Monoid

Körpererweiterungen; algebarischer Zahlkörper

Hallo,

Ich will $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q[\sqrt{2}] : \mathbb Q]=\dim \mathbb Q[\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ bestimmen. nur wie soll ich diese dimension als natürliche Zahl angeben.

Mmm

(mal wieder) Latex korrigiert
Mulder

09.09.2012, 14:51

ollie3

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RE: Körpererweiterungen; algebarischer Zahlkörper
hallo,
hier kann ich dir auch weiterhelfen, die körpererweiterung Q[sqrt2] hat über
Q den grad 2, weil man Q[sqrt2] als vektorraum mit der basis {1, sqrt2} über
Q auffassen kann.
gruss ollie3

09.09.2012, 15:33

Monoid

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RE: Körpererweiterungen; algebarischer Zahlkörper
Stimmt, war ja eigentlich ganz einfach! smile

Mmm

09.09.2012, 16:34

Monoid

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RE: Körpererweiterungen; algebarischer Zahlkörper
Und $\begin{eqnarray*} [\mathbb C : \mathbb R]=2 \end{eqnarray*}$ stimmt das?

Und $\begin{eqnarray*} [\mathbb R : \mathbb Q]=1 \end{eqnarray*}$ stimmt das?

Mmm

09.09.2012, 16:42

ollie3

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RE: Körpererweiterungen; algebarischer Zahlkörper
hallo,
das erste stimmt, das zweite leider nicht, der grad von R über Q ist sogar
schon unendlich, das liegt daran, weil es überabzählbar viele reelle zahlen
gibt und man mit keiner endlichen erweiterung sämtliche reelle zahlen
erzeugen könnte.
gruss ollie3

09.09.2012, 17:58

Monoid

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RE: Körpererweiterungen; algebarischer Zahlkörper

Zitat:

[i] und man mit keiner endlichen erweiterung sämtliche reelle zahlen
erzeugen könnte.
gruss ollie3

Wieso denn?

Mmm

09.09.2012, 20:13

tmo

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Ein nicht-algebraisches und sehr elementares Argument:

Man kann sich überlegen:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Span}_\mathbb Q(A) \end{eqnarray*}$ ist abzählbar, falls A abzählbar ist.

Daher muss $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Vektorraum sogar überabzählbare Dimension haben.

10.09.2012, 04:10

Monoid

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Dieses $\begin{eqnarray*} span_{\mathbb Q} (A) \end{eqnarray*}$ ist doch die Menge der Linearkombinationen von den elementen aus A, und den Koeffizienten aus Q.?
Da $\begin{eqnarray*} |\mathbb Q|=\infty \end{eqnarray*}$ ist, kann ich doch jeder Zahl aus A unendlich viele Koeffizienten aus Q zuordnen, also ist doch $\begin{eqnarray*} |span_{\mathbb Q} (A)|=\infty \end{eqnarray*}$ .

Mmm

10.09.2012, 05:00

ollie3

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hallo,
habe schon befürchtet, dass du dir das nicht vorstellen kannst, das problem ist
Q ist abzählbar unendlich, R ist dagegen überabzählbar unendlich, und deswegen
kann man nicht aus einer linearkombination von elementen aus Q und endlich
vielen erweiterungselementen eine überabzählbare menge erzeugen.
gruss ollie3

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