Dimension eines LGS

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Mira87 Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension eines LGS
Hallo, ich bin neu hier und habe mich schon ein bisschen durchs Forum geklickt, allerdings keinen wirklichen Thread zu meiner Frage gefunden:

Ich habe bald Mathe ZP und in den alten Prüfungsprotokollen des öfteren folgende Fragen gefunden:

1. Sei Ax=b ein LGS. Welche Dimension haben A, x, b
2. Wenn es 100 Unbekannte und 50 Gleichungen gibt, welche Dimension haben dann A, x, b

Als Lösung steht dann da:



Meiner Meinung nach ist das aber nicht die Dimension, oder? Also die Matrix A z.B. kann doch gar keine Dimension haben, oder irre ich mich? Normalerweise berechne ich doch die Dimension des Lösungsraumes, aber das kann ich in diesem allgemeinen Fall doch gar nicht.
Es wird auch öfter gefragt woraus A, b, x sind und da ist die Antwort dann meiner Meinung nach richtig. Wie wäre es dann im Fall von 2. ?

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, denn ich kann mit dieser Frage wirklich nichts anfangen.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension eines LGS
Hallo,

1. stimmt so; du könntest höchstens noch sagen, dass die Dimension von gerade , die von entsprechend ist etc.

Zu 2. überlege dir, in welchem Objekt/in welcher Variable die (Anzahl der) Unbekannten stecken und in welchem die Anzahl der Gleichungen.
Bzw. Andersrum: Wieviele Unbekannte/Gleichungen gibt es denn bei usw.?

mfg,
Ché Netzer
Mira87 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort

also wenn ich nun ein LGS mit 4 Gleichungen und 3 Unbekannten habe, dann kann man sagen, dass:


Allgemein kann ich doch sagen, dass ich bei

m Unbekannte und n Gleichungen habe, oder?

Aber kann ich dann sagen, dass die Dimension von x=3 und die Dimension von b=4 ist, also genauer gesagt ist bei die Dimension von b immer n. Oder kann man sagen, dass b Element eines n-Dimensionalen Raums ist und x Element eines m-Dimensionalen Raums. Das könnte ich mir dann schon eher vorstellen. Und die Matrix A ist Element eines -Dimensionalen Raumes?

Kann man also allgemein sagen:
hat Dimensionen?

Irgendwie kann ich mir das alles nicht so richtig vorstellen.

Lg
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mira87
Aber kann ich dann sagen, dass die Dimension von x=3 und die Dimension von b=4 ist, also genauer gesagt ist bei die Dimension von b immer n. Oder kann man sagen, dass b Element eines n-Dimensionalen Raums ist und x Element eines m-Dimensionalen Raums.

Letzteres wäre präziser, ersteres ginge aber auch.
Ansonsten hört sich alles vernünftig an.
Mira87 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hilfe, ich denke jetzt habe ich es einigermaßen durchschaut Augenzwinkern

Über die Dimension des Lösungsraumes kann ich aber im allgmeinen nichts sagen, da diese ja nicht von der Anzahl der Gleichungen und Unbekannten abhängt, oder? Kann man sagen, dass die Dimension des Lösungsraumes kleiner (gleich) der Anzahl der Lösungen sein muss?

Im homogenen Fall gilt ja Dimension des Lösungsraumes = n - RangA (oder gilt diese Formel auch bei inhomogenen LGS?)
Kann ich im inhomogenen Fall auch die Dimension des Lösungsraumes ausrechnen?
(z.B. über die Dimensionsformel : dim(V)=dim ker(f) + dim im(f) )

Und noch ein letzte Frage: Wenn von der Größe des Unterraums die Rede ist, meint man dann die Dimension?

Lg
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mira87
Über die Dimension des Lösungsraumes kann ich aber im allgmeinen nichts sagen, da diese ja nicht von der Anzahl der Gleichungen und Unbekannten abhängt, oder? Kann man sagen, dass die Dimension des Lösungsraumes kleiner (gleich) der Anzahl der Lösungen sein muss?

Nein, aus den Anzahlen kannst du nichts über die Dimension des Lösungsraumes aussagen.
Und ja, diese Dimension ist kleiner gleich der Anzahl der Gleichungen und der der Unbekannten, wenn du das meinst

Zitat:
Im homogenen Fall gilt ja Dimension des Lösungsraumes = n - RangA (oder gilt diese Formel auch bei inhomogenen LGS?)

Die gilt hier auch, aber nur, wenn . Die Lösungsmenge ist ja dann nur ein affiner Unterraum bzw. das Urbild von bzw. für ein mit .
 
 
Mira87 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich hoffe ich hab das alles richtig verstanden. Zusammenfassend kann man also sagen:

Sei A ein LGS mit m Unbekannten und n Lösungen
im homogenen Fall:
1) LGS besitzt immer eine triviale Lösung (nämlich die Null)
2) Wenn Rang(A) = Rang(A|b) = n besitzt das LGS genau eine Lösung, ansonsten unendlich viele
3) Der Lösungsraum eines homogenen LGS ist ein linearer Unterraum (da Null immer eine triviale Lösung ist) mit Dim(L) = n – Rang(A)
Ich habe auch schon gelesen, dass es Spaltenrang(A) heißt, aber da Zeilenrang = Spaltenrang gilt, reicht es Rang(A) zu schreiben, oder?

im inhomogenen Fall:
1) LGS hat entweder keine, eine, oder unendlich viele Lösungen
2) Wenn Rang(A) = Rang (A|b) ist das LGS lösbar und es gilt Dim(L) = n – Rang(A)
3) Wenn außerdem Rang(A) = n hat das LGS genau eine Lösung, ansonsten unendlich viele
4) Der Lösungsraum eines homogenen LGS ist ein affiner Unterraum (Da die Null nicht Element des Lösungsraumes)

Habe ich das soweit alles richtig verstanden?
Lg Mira
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichungen meinst du wohl...

Zitat:
Original von Mira87
2) Wenn Rang(A) = Rang(A|b) = n besitzt das LGS genau eine Lösung, ansonsten unendlich viele

Erstens ist bzw. nicht vorhanden und zweitens ist das System dann einfach nur lösbar.

Hier die Übersicht:
:
Keine Lösung.

:
Genau eine Lösung.

:
unendlich viele Lösung mit Dimension des Lösungsraumes .

spielt im Grunde keine Rolle, es ist nur eine obere Grenze für .
Ob das System homogen ist, ist auch egal. Im homogenen Fall ist aber immer .
Mira87 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups ich hab meinen Fehler gefunden...

die Formel die ich hatte ging von m Gleichungen und n Unbekannten aus, damit ergibt das alles auch wieder Sinn Augenzwinkern

Also vielen Dank für die Hilfe
Lg Mira
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