Produktintegration

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09.09.2012, 18:16	Phrasenmäher	Auf diesen Beitrag antworten »
Produktintegration Hallo, bin gerade am Lernen und komme einfach nicht auf die richtige Lösung einer Aufgabe. Und zwar soll dieses Integral durch Produktintegration bestimmt werden: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! x\cdot e^{3- 2x} \, dx \end{eqnarray}$ Die u's und v's habe ich so bestimmt: $\begin{eqnarray} u=x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u'=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v'=e^{3- 2x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v=\frac{1}{4- 2x} e^{4-2x} \end{eqnarray}$ Das dann in die Formel eingesetzt: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! x\cdot e^{3- 2x} \, dx = \left[x\cdot \frac{1}{4-2x} e^{4-2x} \right]_{0}^{1} - \int_0^1 \! \frac{1}{4- 2x}e^{4-2x} \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{2} e^{2} -\int_0^1 \! \frac{1}{4- 2x}e^{4- 2x} \, dx \end{eqnarray}$ als Stammfunktion für $\begin{eqnarray} \frac{1}{4- 2x} e^{4-2x} \end{eqnarray}$ habe ich $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{4- 2x} }{5-2x} e^{5- 2x} \end{eqnarray}$ Setze ich da 1 ein, erhalte ich $\begin{eqnarray} - \frac{19}{10} e^{3} \end{eqnarray}$ Setze ich 0 ein, erhalte ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{20} e^{5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow F(1)- F(0)= - \frac{19}{10} e^{3} - \frac{1}{20} e^{5} \end{eqnarray}$ Das ist auch das erste Problem, da das etwas negatives ergeben würde. Wenn ich jetzt also zusammenfasse, den Teil der Summe in Betragstriche setzen? Macht aber letztendlich auch nichts aus, denn ich bekomme dann raus: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} e^{2} + \frac{19}{10} e^{3} - \frac{1}{20} e^{5} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} e^{2} - \|- \frac{19}{10} e^{3} - \frac{1}{20} e^{5} \| \end{eqnarray}$ Keine Ahnung, was davon richtig wäre Aber es soll sowieso etwas anderes herauskommen und zwar $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} e^{3} - \frac{3}{4} e \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht, ich muss irgendwo einen Fehler gemacht haben, aber ich hab gerade irgendwie ein Brett vor dem Kopf. Außerdem haben wir e vorher eigentlich nie benutzt, das wurde uns jetzt so einigermaßen "untergemogelt", daher kann es durchaus sein, dass ich irgendeinen tieferen Sinn dieser Konstanten bei der Rechnung übersehen habe Wäre über einen Denkanstoß, wie man auf die richtige Lösung kommt, sehr dankbar! Liebe Grüße Lena
09.09.2012, 18:24	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein v ist falsch. Du hast keine Potenzfunktion, sondern eine Exponentialfunktion vorliegen.
09.09.2012, 18:35	Phrasenmäher	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Formelsammlung sagt: $\begin{eqnarray} \int \! e^{x} \, dx = e^{x} + C \end{eqnarray}$ Also ist v $\begin{eqnarray} e^{3- 2x} \end{eqnarray}$ ?
09.09.2012, 18:42	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz. Integration ist sowas wie die Umkehrung der Ableitung und was erhältst Du, wenn Du $\begin{eqnarray} f(x)=e^{3-2x} \end{eqnarray}$ ableitest?
09.09.2012, 19:05	Phrasenmäher	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (3- 2x)e^{2- 2x} \end{eqnarray}$ ? Also stimmt das schonmal nicht... Um also auf die Stammfunktion von $\begin{eqnarray} e^{3- 2x} \end{eqnarray}$ zu kommen, brauche ich die Formel $\begin{eqnarray} \int\!e^{a\cdot x+ b} \, dx = \frac{1}{a} \cdot e^{a\cdot x+ b} + C \end{eqnarray}$ ? Bloß.. wie kommt man darauf oder ist das ein sehr komplizierter Beweis?? Ich weiß nämlich gerade wirklich nicht, wie ich darauf kommen soll
09.09.2012, 19:22	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Am besten indem Du Dir noch einmal die Kettenregel anschaust. Deine Ableitung ist nämlich genau so falsch, wie die Integration oben.
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09.09.2012, 19:42	Phrasenmäher	Auf diesen Beitrag antworten »
Braucht man für die Kettenregel nicht eine innere und eine äußere Funktion? Tut mir leid, aber $\begin{eqnarray} e^{3-2x} \end{eqnarray}$ ist für mich ein einziges .. Ding .. Der Schlauch bleibt einfach an meinem Fuß haften, ich will es nicht begreifen
09.09.2012, 19:45	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreib es Dir mal anders auf: f(x)=exp(3-2x) Ist jetzt klar, was innen und was aussen ist?
09.09.2012, 20:10	Phrasenmäher	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh.. ja ich glaub schon Nach der Kettenregel müsste ich die äußere mit der inneren Ableitung multiplizieren. Die Ableitung von 3-2x ist -2. Warum multipliziere ich dann laut Formel mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{-2} \end{eqnarray}$ und nicht mit -2? Edit: Ach, quatsch, das ist ja die andere Richtung, tut mir leid, moment
09.09.2012, 20:36	Phrasenmäher	Auf diesen Beitrag antworten »
... So. Die Ableitung von $\begin{eqnarray} e^{3- 2x} \end{eqnarray}$ wäre -2 .. mal die Ableitung von .. e. aaber e ist doch eine festgelegte Zahl und wenn ich irgendeine Zahl ableite, fällt die doch weg.. Naja, aber die andere Formel sagte ja, wenn man die e-Funktion ableitet, bleibt sie die e-Funktion (warum auch immer ^^). Das würde heißen $\begin{eqnarray} - 2 e^{3- 2x} \end{eqnarray}$ ist die Ableitung von $\begin{eqnarray} e^{3- 2x} \end{eqnarray}$ . Heißt im Endeffekt, dass ich für die Stammfunktion den Kehrwert von -2 nehme? Also $\begin{eqnarray} v= - \frac{1}{2} e^{3- 2x} \end{eqnarray}$ ?
09.09.2012, 21:01	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so ist es. Zum Thema e-Funktion: Du hast ja nicht die Zahl e, sondern die Funktion $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ . Bei einer Verkettung wird das x durch die Funktion ersetzt, so dass $\begin{eqnarray} e^{3-2x}=e^y \end{eqnarray}$ mit y=3-2x entspricht.

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