Verschoben! Berechnung/Annäherung von Pi

09.09.2012, 20:33	vin97	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung/Annäherung von Pi Tach auch! Stimmt diese Verallgemeinerung des Wallisschen Produktes zur Berechnung von Pi? $\begin{eqnarray} \forall \; n \; \epsilon \; \mathbb{N} \; \land \; 2 \nmid n : \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \pi = \frac{2}{n} \prod_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\left \| 1 - \left ( \frac{n}{2k} \right )^{2} \right \|} \end{eqnarray}$ MfG ... Vin!
21.11.2012, 20:32	vin97	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir recht sicher
21.11.2012, 21:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachtet man $\begin{eqnarray} f(n,m) := \frac{2}{n} \prod_{k=1}^m \frac{1}{1- \left(\frac{n}{2k} \right)^2} = \frac{2}{n} \cdot 2^{2m} m!^2 \cdot \prod_{k=1}^m \frac{1}{(2k-n)(2k+n)} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} g(n) := \lim_{m\to\infty} f(n,m) \end{eqnarray}$ so wissen wir $\begin{eqnarray} g(1)=\pi \end{eqnarray}$ (Wallis) sowie für positive ungerade Zahlen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ durch entsprechendes Kürzen $\begin{eqnarray} f(n+2,m) = -f(n,m)\cdot \frac{2m-n}{2m+n+2} \end{eqnarray}$ womit beim Grenzübergang $\begin{eqnarray} m\to\infty \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} g(n+2) = -g(n) \end{eqnarray}$ folgt.

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