Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolge

09.09.2012, 23:14

b0n3z

Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolge

Guten Abend,

ich habe folgende Funktionenfolge und folgende Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f_{n}(x)=(sin (x))^{n} \end{eqnarray*}$

a) pktw Konv. zeigen
b) zeigen, dass nicht glm konv.
c) zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f_{n} \end{eqnarray*}$ beschränkt auf [0,a] für 0<a< $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ glm konv.

a) klar, grenzfkt ist f(x)=1 für x= $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und f(x)=0 sonst.

b) da f nicht stetig, kann $\begin{eqnarray*} f_{n} \end{eqnarray*}$ nicht glm. konv.

c) gedanklich für mich klar, dass es glm konv. ich weiß nur nicht, wie ich es aufs papier bringen kann.

09.09.2012, 23:19

IfindU

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RE: Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolge
Schreib doch die Definition für die gleichmäßige Konvergenz auf (am besten die über das Supremum).

10.09.2012, 00:09

b0n3z

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RE: Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolge

Zitat:

Original von IfindU
Schreib doch die Definition für die gleichmäßige Konvergenz auf (am besten die über das Supremum).

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }~{\sup((\sin x)^{n})} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

ich glaub jetzt hab ich es: die konv. doch nicht gleichm. da mein sup sin(pi/2)^n ist. und damit 1 und das ist ungleich 0. also konv. die folge auch auf dem intervall nicht glm. richtig verstanden?

10.09.2012, 00:14

IfindU

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RE: Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolge
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }~{\sup((\sin x)^{n})} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Wolltest du gerade b) oder c) zeigen? Für die b) hat es den Fehler, dass es für $\begin{eqnarray*} x = \frac\pi 2 \end{eqnarray*}$ die Grenzfunktion 1 ist und nicht 0.

Für die c) sollte man ergänzen worauf das Sup gebildet wird:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }~{\sup_{x \in [0,a]}((\sin x)^{n})} \end{eqnarray*}$ .

10.09.2012, 00:19

b0n3z

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RE: Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolge

Zitat:

Original von IfindU
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }~{\sup((\sin x)^{n})} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Wolltest du gerade b) oder c) zeigen? Für die b) hat es den Fehler, dass es für $\begin{eqnarray*} x = \frac\pi 2 \end{eqnarray*}$ die Grenzfunktion 1 ist und nicht 0.

Für die c) sollte man ergänzen worauf das Sup gebildet wird:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }~{\sup_{x \in [0,a]}((\sin x)^{n})} \end{eqnarray*}$ .

ne c, a) zeigt ja, dass f nicht stetig, also kann fn nicht glm konv.

bei c) ist aber die kleinste obere schranke doch $\begin{eqnarray*} \frac\pi 2 \end{eqnarray*}$ und dann ist der limes 1 für jedes n?

10.09.2012, 00:21

IfindU

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RE: Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolge
Hier ist wichtig, dass man das a vorher fixiert hat. Für dieses feste a kann man eine bessere Schranke angeben.

10.09.2012, 00:26

b0n3z

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RE: Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolge

Zitat:

Original von IfindU
Hier ist wichtig, dass man das a vorher fixiert hat. Für dieses feste a kann man eine bessere Schranke angeben.

Aha ok...naja für festes a < pi/2 ist das sup natürlich a. und dann ist sin (a)<1 und somit würd das dann doch gegen 0 konvergieren...jetzt richtig?

10.09.2012, 00:36

IfindU

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RE: Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolge
Jop, das stimmt.

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