Grenzwert einer Reihe mit Grenzvariable im Argument

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10.09.2012, 00:17	Mr. Tom	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Reihe mit Grenzvariable im Argument Meine Frage: Ich soll den Grenzwert gegen Unendlich einer Summe berechnen, also quasi eine Reihe allerdings ist die obere Grenze eine Varriable und im Argument der Summe enthalten. Aber hier mal die Aufgabe: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } (\sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^{2} + j } } ) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich will, in dem Bruch im Argumet der Summe, n ausklammern und kürzen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + j } } \Rightarrow \frac{1/n}{\sqrt{1 + j/n^{2} } } \end{eqnarray}$ Lasse ich nun n gegen Unendlich streben erhalte ich: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^\infty \frac{0}{\sqrt{1 + 0 } } = 0 \end{eqnarray}$ Ich habe die Aufgabe auch mal mit Wolfram Alpha berechen lassen, allerdings kam da kein Ergebnis raus. Aber geht das alles so oder mache ich es mir da zu einfach bei der Betrachtung des Grenzwertes?
10.09.2012, 01:26	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer Reihe mit Grenzvarriable im Argument Hallo, mache zwei Abschätzungen für $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ , das liefert dir eine obere und eine untere Schranke für $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^n\frac1{\sqrt{n^2+j}} \end{eqnarray}$ . Mit dem Dreifolgensatz hast du dann den Grenzwert. Edit: Deine Rechnung geht so allerdings nicht, sonst wäre ja auch $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac1n=\sum_{i=1}^\infty0=0 \end{eqnarray}$ , wobei diese Folge konstant Eins ist. Du kannst den Grenzwert nicht einfach auf Summand und die Anzahl der Summanden getrennt voneinander wirken lassen. mfg, Ché Netzer
10.09.2012, 10:43	Mr. Tom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok Danke dann werde ich das mal mit den Abschätzungen versuchen. Aber gibt es da eine Art System nach dem man verfahren kann oder ist das wirklich rein der eigenen kreativität überlassen wie und wohin man abschätzt?
10.09.2012, 10:51	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ein System, nach dem man abschätzt, gibt es nicht, aber man kann natürlich auch nicht einfach jede beliebige Abschätzung von wegen $\begin{eqnarray} \leq\infty \end{eqnarray}$ benutzen Als Hinweis wie gesagt schätze nur $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ ab. Wenn ich damit nicht schon zu viel verraten habe.
10.09.2012, 10:56	Mr. Tom	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann werde ich wohl oder übel etwas creativ werden müssen
10.09.2012, 14:41	Mr. Tom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich hab nach einigen Qualen (ich weis jetzt warum ich Algebra lieber mag als Analysis) was abgeschätzt, bin mir aber nicht sicher ob ich das auch so verwenden darf, also dsa meine abgeschätzten Terme 1 ergeben. $\begin{eqnarray} 1 = \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{\sqrt{n²+n}} \leq \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{\sqrt{n²+j} } \leq \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{\sqrt{n²} } = 1 \end{eqnarray}$ Oder hattest du das mit dem "j abschätzen" anders gemeint
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10.09.2012, 15:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt so. Nach oben kann man konstant mit Eins abschätzen und nach unten mit einer gegen Eins konvergenten Folge. Die beiden Gleichheitszeichen solltest du vielleicht noch kurz erläutern, aber sonst ist alles in Ordnung.
10.09.2012, 16:57	Mr. Tom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die Beründung der beiden Gleichheitszeichen... das Rechte kirg ich spontan begründet mit: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{1} = \frac{1}{n} \cdot (n\cdot 1)=1 \end{eqnarray}$ Das Linke : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n²+n} } = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n\cdot (n+1)} } = \frac{1}{\sqrt{n\cdot (n+1)}}\cdot \sum\limits_{k=1}^n 1 =\frac{n}{\sqrt{n\cdot (n+1)} } = \sqrt{\frac{n}{n+1} } \end{eqnarray}$ Und die Grenzwert betrachtung für diesen Term kann man per l´Hôpital machen: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \sqrt{\frac{n}{n+1} } =\sqrt{\lim_{n \to \infty } \frac{n}{n+1} }= \end{eqnarray}$ " $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{\infty }{\infty } } \end{eqnarray}$ " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sqrt{\lim_{n \to \infty } \frac{1}{1+0} } = \sqrt{1} =1 \end{eqnarray}$ Ich hoffe jetzt habe ich an alles gedacht Und Danke für die schnelle Hilfe
10.09.2012, 17:04	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, l'Hospital ist etwas übertrieben; nutze doch einfach $\begin{eqnarray} \frac n{n+1}=\frac1{1+\tfrac1n}\to\frac1{1+0} \end{eqnarray}$ Da bräuchtest du auch die Faktorisierung $\begin{eqnarray} n^2+n=n(n+1) \end{eqnarray}$ gar nicht, wenn du direkt in $\begin{eqnarray} \frac n{\sqrt{n^2+n}} \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ kürzt.
10.09.2012, 17:46	Mr. Tom	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt hätte man sehen können

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