Umformung gebrochen rationaler Funktion

Neue Frage »

10.09.2012, 08:29	dizzze	Auf diesen Beitrag antworten »
Umformung gebrochen rationaler Funktion Hallo liebe Leute, Ich habe gerade eine zu integrierende Funktion. Dafür muss ich die Gleichung umformen. Das Ergebnis kenne ich durch wolframalpha schon. Aber mich interessiert der Weg dahin, sonst würde ich ja nix dabei lernen. Gegeben: $\begin{eqnarray} \mathrm{F}\left( x\right) = \int \frac{{x}^{3}}{{x}^{2}-2\,x-8}\dd x \end{eqnarray}$ Durch Polynomdivision und Faktorisierung habe ich es soweit gebracht: $\begin{eqnarray} \mathrm{F}\left( x\right) = \int \frac{4\cdot(3\,x+4)} {(x-4)\cdot(x+2) } +x +2 \dd x \end{eqnarray}$ Und soweit muss ich es noch bringen: $\begin{eqnarray} \mathrm{F}\left( x\right) = \int \frac{4}{3\,\left( x+2\right) }+\frac{32}{3\,\left( x-4\right) } +x +2 \dd x \end{eqnarray}$
10.09.2012, 09:12	dizzze	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach ein bißchen rumprobieren weiß ich lediglich, dass es stimmt und von welchen Gedanken ich auf welchen kommen muss. Aber wie kommt man auf sowas denn eigentlich? Mit 3 erweitern und dann dementsprechend umformen. $\begin{eqnarray} \mathrm{F}\left( x\right) = \int \frac{3\cdot4\cdot(3\,x+4)} {3\cdot(x-4)\cdot(x+2) } +x +2 \dd x \end{eqnarray}$ Mit 3 erweitert $\begin{eqnarray} \mathrm{F}\left( x\right) = \int \frac{36\,x+48} {3\cdot(x-4)\cdot(x+2) } +x +2 \dd x \end{eqnarray}$ ausgeklammert $\begin{eqnarray} \mathrm{F}\left( x\right) = \int \frac{4\cdot(x-4) + 32\cdot(x+2)} {3\cdot(x-4)\cdot(x+2) } +x +2 \dd x \end{eqnarray*}$ faktorisiert zum Trennen Entweder, man denkt erfinderischer als ich oder man hat ein bestimmtes Verfahren. Wie würdet ihr vom 1. Term zum 3. Term denken?
10.09.2012, 11:21	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich würde erst mal eine Polynomdivision durchführen. Mit dem "Rest" würde ich das Verfahren der Partialbruchzerlegung durchführen. Mit freundllichen Grüßen.
10.09.2012, 16:18	dizzze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin jetzt nach Anleitung von Wikipedia zur Partialbruchzerlegung gelangt. Allerdings weiß ich jetzt nicht mehr weiter. Any Ideas? $\begin{eqnarray} \frac{4\,\left( 3\,x+4\right) }{\left( x-4\right) \,\left( x+2\right) } = \frac{b}{x+2}+\frac{a}{x-4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 =\left( b+a-12\right) \,x+2\,\left( -2\,b+a-8\right) \end{eqnarray}$
10.09.2012, 16:32	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Ideas stehen oben. Ich würde erstmal eine Polynomdivision durchführen. Da bekommst du auch schon x + 2. Mit dem Rest dann die Partialbruchzerlegung durchführen.
10.09.2012, 19:42	dizzze	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber genau das versuche ich doch mit meinem Post doch zu erreichen. Ich nehme hier nach Wikipedia die Partialbruchzerlegung und komme bei dieser nicht weiter.
Anzeige

10.09.2012, 19:44	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach doch erstmal die Polynomdivision. Oder hast du hier auch Probleme?
10.09.2012, 20:34	dizzze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mit meiner Polynomdivision nur bis zu dem Rest 12*x+4 gekommen, weil ich durch x^2 teile und somit 1/x ins Ergebnis schreiben müsste.
10.09.2012, 20:51	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
die 12x habe ich auch nur ich habe anstatt die 4 etwas anderes. Das ist dann auch der vollständige Rest. Mit freundlichen Grüßen.
11.09.2012, 06:19	dizzze	Auf diesen Beitrag antworten »
Sag mal trollst du mich? Hast du dir die vorherigen Posts angeschaut? Ich habe in den ersten drei Posts das richtige Ergebnis faktorisiert geschrieben, nur im Letzten nicht.
11.09.2012, 06:38	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss jetzt nicht, weshalb Kasen dein korrektes Ergebnis von oben noch einmal hergeleitet haben möchte. Du musst auf jeden Fall in Deinem Posting von 16:18 die Koeffizienten vergleichen. Die Gleichung gilt ja für alle x.
11.09.2012, 07:09	dizzze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs jetzt dadurch hingebracht, indem ich die Gleichung auf die Form brachte und mir der Koeffizientenvergleich leichter viel. $\begin{eqnarray} 12\,x + 16 = (a + b)\cdot x + 2\cdot(a-2\,b) \end{eqnarray}$ und danach a + b = 12 2*(a - 2b) = 16 Danach war ich dann endlich fertig... Und wenn man von den Usern erwartet, dass diese die Posts richtig und komplett lesen, sollte man das doch auch von den Helfern erwarten. Danke

Neue Frage »

Antworten »

Umformung gebrochen rationaler Funktion

Verwandte Themen