Häufungspunkte

12.07.2004, 11:42	Sir Dragonslayer	Auf diesen Beitrag antworten »
Häufungspunkte Hi, Hab diesmal ne konkrete Aufgabe: Gegeben ist Menge M:= {(x,y) in R² : x²+y²<1}. Frage: Gibt es eine unendliche Teilmenge von M ohne Häufungspunkte in M? Ich bin ja der Meinung das jedes Element aus der Menge ein Häufungspunkt ist, aber wissen tu ichs nicht. Bitte Antwort auch erklären
12.07.2004, 11:54	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast damit recht, dass jedes Element von M Häufungspunkt von M ist. Umgekehrt ist aber nicht jeder Häufungspunkt von M ein Element von M - diesen Umstand musst du bei dieser Aufgabe nutzen. Wo liegen denn die Häufungspunkte von M, die nicht in M liegen? Kannst du die Menge dieser Punkte angeben? Es gibt eine unendliche Teilmenge von M mit der Eigenschaft, dass jeder Häufungspunkt dieser Teilmenge außerhalb von M liegt. Da M beschränkt ist, muss diese Teilmenge einen Häufungspunkt besitzen nach einem Satz von Bolzano-Weierstraß, der Trick besteht also darin, diesen Häufungspunkt nach außerhalb von M zu bekommen. Gruss, SirJective
12.07.2004, 12:49	Sir Dragonslayer	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort, aber das versteh ich jetzt nicht. Wie kann ein Häufungspunkt einer Menge, nicht in der Menge selbst liegen. Höchstens der Grenzwert könnte diese Eigenschaft erfüllen, aber ich wüßte nicht welchen Grenzwert ich bei dieser Menge benutzen sollte. x² + y² < 1 hat doch gar keine sinnvollen Grenzwerte. Oder irre ich mich da? Und wenn die Menge keine Grenzwerte besitzt, heißt das dann es gibt keine unendliche Teilmenge außerhalb von M?
12.07.2004, 16:28	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Du brauchst eine Folge in M, deren Grenzwert nicht in M liegt, dann ist dieser Grenzwert trotzdem Häufungspunkt von M. Welche Punkte sind denn hier "ganz nah an M dran"? Gruß vom Ben
12.07.2004, 18:26	Sir Dragonslayer	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ahnung. wüßte bloß die Ränder: z.B. x=+-1,y=0 oder x=0,y+-1 oder x=+-sqrt(1/2),y=+-sqrt(1/2) Wenn man die Menge aufzeichnet sieht das ja ähnlich wie ein Karo aus. Eine Folge die mir sonst noch einfallen würde ist: a(n)=Summe(i=1 bis n) 1/(2^i) Wäre jetzt halt der y- oder x-Wert. man würde auch wunderbar mit dem Grenzwert auf die ersten beiden Lösungen oben kommen. Bloß leider liegen die in der Menge. :P
12.07.2004, 19:15	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Rand ist schon genau die richtige Antwort (kann Grenzwert einer Folge sein, liegt aber selbst nicht in M, da ja dort < steht und nicht $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ ). Allerdings musst du dir nochmal die Menge genauer vor Augen führen. Es ist nicht ein Karo, sondern ein Kreis! Gruß vom Ben
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12.07.2004, 21:26	Sir Dragonslayer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, das ist es. Das hab ich die ganze Zeit gar nicht für voll genommen. Da steht ja nur < und nicht <=. Jetzt gibt das Sinn. Das mit dem Kreis stimmt auch. Jetzt ist bloß noch die Frage wie läßt sich diese Randmenge darstellen. Kann man das so sagen: M:={(x,y) in R² : x²+y²=1} Das müßte doch der Rand sein und damit die Lösung? freu Hey, dieser Thread war echt gut für mein Verständnis von der Thematik. Danke!!! Sagt aber mal bitte noch ob die obige Menge richtig ist.
12.07.2004, 21:36	mathemaduenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Sir Dragonslayer Die Darstellung des Randes von M ist richtig. Dies löst natürlich nicht die Anfangsaufgabe sondern nur Ben's Zwischenfrage. gruß mathemaduenn

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