"Je kleiner Funktionenraum, desto größer Dualraum" ?

10.09.2012, 16:17

terri

"Je kleiner Funktionenraum, desto größer Dualraum" ?

Hi,

ich habe mir gerade so als Wiederholung auf Wikipedia den Artikel über Distributionen durchgelesen, da bin ich auf einen Satz gestoßen, der mir merkwürdig vorkam:

Je kleiner ein Funktionenraum ist, desto größer ist nämlich sein Dualraum.

(siehe Mitte dieses Absatzes )

Ich habe eine Vorlesung Mathematik für Physiker besucht und dort wurden eben viele physikalisch relevanten Themen angesprochen, und natürlich kann man bei so einer Veranstaltung nicht auf alle Details eingehen. Wenn ich diesen Ausspruch richtig verstehe, könnte man (grob) diesen Satz formulieren:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} U, V \end{eqnarray*}$ Vektorräume. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} U \subset V \Rightarrow V^\ast\subset U^\ast \end{eqnarray*}$

Ich bitte um eine kurze Erklärung, da ich gerade etwas verwirrt bin^^

10.09.2012, 20:08

sergej88

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Hallo,

ein Element $\begin{eqnarray*} x \in V^* \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung
$\begin{eqnarray*} x: V \longrightarrow \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ den Grundkörper bezeichnet.

Durch einschränken erhälst du eine neue Abbildung
$\begin{eqnarray*} x' = x|_{U}: U \longrightarrow \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ .
Da Linearität, Stetigkeit etc. erhalten bleibt definiert dieses ein Element $\begin{eqnarray*} x' \in U^* \end{eqnarray*}$ ,
welches die geforderte Inklusion zeigt.

mfg

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