Lösen einer Differentialgleichung

10.09.2012, 16:38	MathiDi	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösen einer Differentialgleichung Hallo zusammen, ich bin neu hier im Forum, weil ich ein Problem mit einer Differentialgleichung habe. Und zwar fange ich an mit einer eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung, in der aber die Wärmeleitfähigkeit abhängig vom Ort ist. Die Gleichung sieht also so aus: $\begin{eqnarray} \frac{\partial T}{\partial t}= \frac{\partial}{\partial x } \left( \lambda \left(x\right) \right) \frac{\partial T}{\partial x}= \frac{\partial \lambda }{\partial x} \frac{\partial T}{\partial x}+\lambda \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2} } \end{eqnarray}$ Leider hört es bei mir hier schon fast auf. Ich würde es im ersten Schritt gerne mit einem expliziten Differenzenverfahren lösen. Mir ist aber nicht klar, was ich mit dem Term mache, in dem die partielle Ableitung der Wärmeleitfähigkeit mit der partiellen Ableitung der Temperatur multipliziert wird. Kann ich hier jeweils für das einzelne Differential eins Differenzenquotienten ansetzen und diese einfach multiplizieren?
11.09.2012, 08:16	MathiDi	Auf diesen Beitrag antworten »
weiß keiner eine Antwort?
11.09.2012, 09:10	MathiDi	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ich bisher keine Antwort bekommen habe versuche ich es noch einmal ein bisschen genauer zu beschreiben. Ich hätte zunächst für den Term der linken Seite den Vorwärtsdifferezenquotienten benutzt um die partielle Ableitung nach der Zeit in expliziter Form zu lösen. Auf alle anderen Terme würde ich den zentralen Differenzenquotienten ansetzen. Somit würde sich folgende Gleichung ergeben: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{T_{k+1,i-T_{k,i} } }{\Delta t}=\frac{\lambda_{k,i+1}-\lambda_{k,i-1} } {2 \Delta x} \frac{T_{k,i+1}-T_{k,i-1} } {2 \Delta x}+...<br /> \end{eqnarray}$ Hierbei habe ich den quadratischen Term auf der rechten Seite vernachlässigt, da ich diesen auflösen kann. Der Index i beschreibt den Ort und der Index k die Zeit. Was mri nicht klar ist, ist der Term in dem die partiellen Ableitungen von T und Lambda multipliziert werden. Kann ich den Term so wie gezeigt auflösen? Oder ist dies nicht möglich, weil die Terme multipliziert werden?
11.09.2012, 09:44	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo MathiDi, da die Ableitung der limes des entsprechenden Differenzenquotienten ist, kannst du zur numerischen Lösung der Differentialgleichung die entsprechenden Differenzenquotienten ansetzen, aber denke daran, dass die Lösung von dem gewählten $\begin{eqnarray} \Delta x \end{eqnarray}$ abhängt. Diese Schrittweite kann i.A. nicht beliebig klein gewählt werden, da man dann mit Rundungsfehlern rechnen muss. Vielleicht solltest du auch an bessere numerische Lösungsverfahren (z.B. Runge-Kutta-Verfahren) denken.
11.09.2012, 09:53	MathiDi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Ja mir ist klar, dass meine Lösung stark von den gewähltschen Schrittweiten abhängt. Es gut nur zunächst um ein erstes Verständnis. Die genaue numerische Behandlung werde ich denke ich auch weiter untersuchen müssen. Danke schonmal für die Antwort! Das hilft mir schon sehr weiter.
11.09.2012, 10:03	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Wärmeleitfähigkeit vom Ort abhängt, hast du in der Dgl. die Klammern falsch gesetzt. Es muss richtig heißen: $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial T}{\partial t}=\tfrac{\partial }{\partial x}\left [ \lambda (x) \tfrac{\partial T}{\partial x}\right ] \end{eqnarray}$ . Wenn die Funktion $\begin{eqnarray} \lambda (x) \end{eqnarray}$ einfach ist, kann man die Gleichung in Ausnahmefällen sogar analytisch lösen. Wie lautet $\begin{eqnarray} \lambda (x) \end{eqnarray}$ ?
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11.09.2012, 11:03	MathiDi	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh stimmt. Die Klammern habe ich falsch gesetzt. Aber ich habe ja richtig ausmultipliziert. Ich habe keine Funktion von Lambda gegeben. Es geht nur um theoretische Überlegungen.

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