Fourier-Reihe von e^|x|

11.09.2012, 12:41

saschb2b

Fourier-Reihe von e^|x|

Hallo,

ich hänge gerade seit einiger Zeit an einer Aufgabe und Frage nun hier nach Hilfe.
Die Aufgabe war eine Fourier-Reihe zu erstellen von f(x)=e^|x| mit 2pi Periodizität Grenzen:[-pi,pi].

Die Funktion ist doch gerade also brauche ich nur a0 und ak.
Nur beim ak komme ich einfach nicht weiter. Ich hänge meinen Rechenweg als Anhang mit dran. Wäre nett wenn sich das mal jemand angucken könnte

Vielen Dank

https://www.dropbox.com/s/nrerg8d38bu8viz/IMG_20120911_122350.jpg

11.09.2012, 12:59

klarsoweit

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RE: Fourier-Reihe von e^|x|
Im Allgemeinen ist erstmal die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{|x|} \end{eqnarray*}$ nicht gleich $\begin{eqnarray*} e^{|x|} \end{eqnarray*}$ . Von daher solltest du erstmal für x >= 0 die Identität $\begin{eqnarray*} e^{|x|} = e^x \end{eqnarray*}$ verwenden, um die lästigen Betragsstriche loszuwerden.

Dann würde ich in einer Nebenrechnung eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} e^x \cdot cos(kx) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

11.09.2012, 13:03

saschb2b

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RE: Fourier-Reihe von e^|x|
Ok gut aber macht das denn einen Unterschied ob ich da mit Betragsstrichen arbeite oder nicht? Sonst läuft das doch alles eigentlich

11.09.2012, 13:41

klarsoweit

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RE: Fourier-Reihe von e^|x|
Weil eben - wie ich oben schon sagte - Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{|x|} \end{eqnarray*}$ im allgemeinen nicht gleich $\begin{eqnarray*} e^{|x|} \end{eqnarray*}$ ist. Und wenn man nur x >= 0 betrachtet, dann kann man die auch gleich weglassen.

11.09.2012, 13:56

saschb2b

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RE: Fourier-Reihe von e^|x|
Ok. Ich gehe aber doch eh nur von 0 bis 2pi. Betrachte also letztendlich nur e^x und nicht e^|x|.

11.09.2012, 14:14

klarsoweit

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RE: Fourier-Reihe von e^|x|

Zitat:

Original von saschb2b
Ich gehe aber doch eh nur von 0 bis 2pi.

Eher doch wohl bis pi, oder?

Zitat:

Original von saschb2b
Betrachte also letztendlich nur e^x und nicht e^|x|.

Richtig. Aber das sollte man dann auch sagen.

11.09.2012, 14:17

saschb2b

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Ja stimmt bis pi. Sry mein Fehler.

Die Frage ist jetzt ja nur wie ist der nächste Schritt vom Zettel. Ich habe auf der Rechten Seite mein Ausgangsintegral und komme einfach nicht weiter. Es muss jetzt ja irgendwie auf die Linke seite damit ich die Lösung vom Integral bekomme

11.09.2012, 14:50

klarsoweit

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Grob gesprochen hast du eine Gleichung der Form:

A = B + C - k * A

wobei A das gesuchte Integral darstellt. Diese Gleichung kannst du problemlos nach A auflösen. smile

11.09.2012, 14:58

saschb2b

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Den Gedankengang versuche ich die ganze Zeit zu erfüllen smile

Wenn ich jetzt aber mein 2/(k^2*pi) * I, wobei I mein Integral entspricht, rüberschaufel habe ich doch
2/pi * I - 2/(k^2*pi) * I = B + C

Ich sehe da leider nicht wie ich das Integral jetzt alleine stehen haben kann..
Wie bekomme ich daraus jetzt
I = B + C?

11.09.2012, 15:38

klarsoweit

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Wie man es (hoffentlich) gelernt hat: I ausklammern und dann durch den Faktor vor dem I dividieren.

Die Gleichung 2x + 3x = 10 stellt ja wohl auch kein Problem dar, oder?

12.09.2012, 09:55

saschb2b

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Ja natürlich!!
Vielen Dank ich stand wohl echt auf dem Schlauch.
Ich geh jetzt in die Ecke mich schämen Big Laugh

Danke nochmal

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