Integralschreibweise

11.09.2012, 13:03	Africola123	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralschreibweise Meine Frage: Ich lerne in der Schule seit neustem die Integralrechnung. Zu Anfang haben wir die Integrale nicht mit diesem S-förmigen Integralzeichen geschrieben, sondern mit A0. Meine Ideen: Beispiel: A0(x)= -1/3x^3+4x Jetzt kommen Aufgaben mit diesem S-Integralzeichen. Die symbolische Schreibweise lautet: Sf(x)dx Meine Frage dazu ist nun, was nun der Unterschied zu diesem A0 ist. Ich kann das mit dem A0, aber nicht mit dem Integralzeichen. für was steht dx und wieso ist kein Gleichheitszeichen mehr vorhanden?
11.09.2012, 14:13	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Anhand der Informationen kann ich keine sichere Aussage treffen, aber ich vermute, dass ihr mit A_0 (A für Area) einfach die von der Funktion mit der x-Achse eingeschlossenen Fläche bezeichnet habt. Im Grunde meint das Integral das selbe (es sei denn die Funktion wechselt im betrachteten Intervall das Vorzeichen). Ein Beispiel: Betrachten wir einmal $\begin{eqnarray} f(x) = -x^2 + 1 \end{eqnarray}$ Uns interessiert nun die Fläche die von der Funktion oberhalb der x-Achse eingeschlossen wird. Bezeichnen wir diese Fläche mit $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} A = \int_{-1}^1 f(x) dx = \int_{-1}^1 -x^2+1 dx = F(1) - F(-1) \end{eqnarray}$ . Hierbei ist mit $\begin{eqnarray} F(x) \end{eqnarray}$ die sogenannte Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ gemeint, die sich im Falle von Polynomen leicht berechnen lässt. Es ist $\begin{eqnarray} f(x) = -x^2+1 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} F(x) = - \frac{1}{3}x^3 + x + b \end{eqnarray}$ die Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ . Das $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ am Ende soll dich für den Moment nicht weiter stören. Ich wollte es nur der Vollständigkeit halber hinschreiben, auch wenn es am Ergebnis - wie du gleich sehen wirst - nichts ändert. Setzen wir also unsere Rechnung oben fort: $\begin{eqnarray} A = \int_{-1}^1 f(x) dx = \int_{-1}^1 -x^2+1 dx = F(1) - F(-1) = \left(-\frac{1}{3} \cdot (1)+(1)+b \right) - \left( -\frac{1}{3} \cdot (-1)+(-1)+b \right) = -\frac{2}{3} + 2 = 1\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} A = 1 \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} A_0(x) \end{eqnarray}$ ist dann - wie ich vermute - die eingeschlossene Fläche der Funktion von 0 bis x gemeint. Falls sich das mit deinem Unterricht deckt wäre $\begin{eqnarray} A_0(g) = \int_{0}^g f(x) dx \end{eqnarray}$ und damit nur eine andere Schreibweise. Falls sich das nicht mit deinem Unterricht deckt, gib uns am besten mal ein Beispiel in dem du beide Schreibweisen anwendest.

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