Ist R^n ein Maßraum?? n = natürliche Zahl

11.09.2012, 13:54

steviehawk

Ist R^n ein Maßraum?? n = natürliche Zahl

Meine Frage:
Hallo Leute, kann mir jemand paar beispiele für bekannte Maßräume nennen??

Danke!!

Meine Ideen:
Stevie!

11.09.2012, 14:20

Che Netzer

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RE: Ist R^n ein Maßraum?? n = natürliche Zahl
Hallo,

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist zunächst einmal kein Maßraum, aber $\begin{eqnarray*} (\mathbb R^n,\mathfrak B(\mathbb R^n),\lambda^n) \end{eqnarray*}$ ist einer, wobei $\begin{eqnarray*} \mathfrak B(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ die Borel- $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra ist und $\begin{eqnarray*} \lambda^n \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionale Lebesgue-Maß.
Das ist auch schon der bekannteste Maßraum; man kann auch eine (Borel-messbare) Teilmenge $\begin{eqnarray*} \Omega\subset\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ wählen und die Borel- $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra ( $\begin{eqnarray*} \mathfrak B(\Omega) \end{eqnarray*}$ ) und das Lebesgue-Maß darauf einschränken, insbesondere sind dabei Intervalle $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ interessant, z.B. für $\begin{eqnarray*} L^2(a,b) \end{eqnarray*}$ .
Ein anderes Beispiel ist $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,\mathcal P(\mathbb Z),\xi) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \mathcal P \end{eqnarray*}$ die Potenzmenge und $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ das Zählmaß ist.

Ansonsten kannst du dir auch einen beliebigen Wahrscheinlichkeitsraum nehmen, die sind ja wohl auch bekannt.

Naja, ich schätze, das waren jetzt die wichtigsten Maßräume.

Zitat:

Original von steviehawk
Meine Ideen:
Stevie!

Hm?

mfg,
Ché Netzer

11.09.2012, 14:35

HAL 9000

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Von eher theoretischen denn praktischen Interesse ist $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},\mu) \end{eqnarray*}$ mit einer beliebigen nichtleeren Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , einer beliebigen Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ sowie

$\begin{eqnarray*} \mu(A) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{falls}\, A=\emptyset \\ \infty & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Zumindest ist dieses $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ als Beispiel eines nicht sigma-endlichen Maßes zu gebrauchen. Augenzwinkern

11.09.2012, 14:43

Che Netzer

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Ach ja, als interessantes Maß habe ich noch das Dirac-Maß vergessen:
$\begin{eqnarray*} \delta_x(A):=\begin{cases}0&x\notin A\\1&x\in A\,.\end{cases} \end{eqnarray*}$

12.09.2012, 16:02

steviehawk

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Super Danke... mitterweile bin ich etwas belesener in dem Thema auch wenn es alles erstmal recht abstrakt klingt mit diesen Maßen!!

Zitat:

Original von steviehawk
Meine Ideen:
Stevie!

Hm?

Ich dachte "Stevie" wäre vielleicht auch ein Maßraum Wink

kleiner Scherz am Rande! (bzw. auf dem Rand Augenzwinkern

)

12.09.2012, 16:48

Che Netzer

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Zitat:

Original von steviehawk
Super Danke... mitterweile bin ich etwas belesener in dem Thema auch wenn es alles erstmal recht abstrakt klingt mit diesen Maßen!!

Fang am besten mit dem Lebesgue-Maß im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ an, da ist die Vorstellung meist am besten. Danach dürften abstrakte Maße auch verständlicher sein.

Zitat:

Ich dachte "Stevie" wäre vielleicht auch ein Maßraum Wink

Klar, wenn "Stevie" entsprechend definiert ist Augenzwinkern