Monotonie (Folgen)

11.09.2012, 16:28

stalker010

Monotonie (Folgen)

Meine Frage:
Die Frage lautet:

Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n} )^{n} \end{eqnarray*}$

ist monoton steigend.

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist der folgende:

a_n < a_n+1

Mit dem Ergebnis 0 <= 1 was ja eigentlich schon mal richtig ist.

Die Lösung beginnt aber hiermit a_n-1 <= a_n.

In der zweiten Teilaufgabe hab ich gemerkt das mein Ansatz nicht immer funktioniert.

Worin unterscheiden sich die beiden Aussagen? Sollten sie nicht equivalent sein?

mfg Samy

11.09.2012, 16:31

Math1986

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RE: Monotonie (Folgen)

Zitat:

Original von stalker010
Die Lösung beginnt aber hiermit a_n-1 <= a_n.

In der zweiten Teilaufgabe hab ich gemerkt das mein Ansatz nicht immer funktioniert.

Warum nicht? verwirrt

Diese Aussagen sind äquivalent

PS: Du zeigst sogar die strenge Monotonie, also die Abschätzung mit "<". Das ist hier zwar auch der Fall, es gibt aber auch Folgen, die nur monoton, aber nicht streng monoton steigen. Da würde dein Ansatz schiefgehen.

11.09.2012, 16:51

stalker010

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(ii)
$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n}) ^{n+1} \end{eqnarray*}$ soll monoton fallend sein.

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n}) ^{n+1} \geq (1+\frac{1}{n+1}) ^{n+1} \cdot (1+\frac{1}{n+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\geq 1+\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\geq 1 \end{eqnarray*}$

Ich tippe mal auf einen Rechenfehler.

11.09.2012, 17:07

Math1986

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Zitat:

Original von stalker010
(ii)
$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n}) ^{n+1} \end{eqnarray*}$ soll monoton fallend sein.

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n}) ^{n+1} \geq (1+\frac{1}{n+1}) ^{n+1} \cdot (1+\frac{1}{n+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\geq 1+\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\geq 1 \end{eqnarray*}$

Ich tippe mal auf einen Rechenfehler.

Der Fehler ist in

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac 1n\right) ^{n+1} \geq\left(1+\frac{1}{n+1}\right) ^{n+1} \cdot\left(1+\frac{1}{n+1}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\geq 1+\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Du hast da zwei ungleiche Faktoren rausgekürzt.

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